多項式 $P(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 4$ を次の1次式で割ったときの余りを求めます。 (1) $x - 1$ (2) $x + 3$ (3) $2x - 1$

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = x^3 + 3x^2 - 2x + 4$ を次の1次式で割ったときの余りを求めます。

(1) $x - 1$

(2) $x + 3$

(3) $2x - 1$

2. 解き方の手順

剰余の定理を利用します。多項式 $P(x)$ を $x - a$ で割ったときの余りは $P(a)$ になります。

(1) $x - 1$ で割ったとき

$x - 1 = 0$ より $x = 1$

$P(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 2(1) + 4 = 1 + 3 - 2 + 4 = 6$

(2) $x + 3$ で割ったとき

$x + 3 = 0$ より $x = -3$

$P(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 2(-3) + 4 = -27 + 27 + 6 + 4 = 10$

(3) $2x - 1$ で割ったとき

$2x - 1 = 0$ より $x = \frac{1}{2}$

$P(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^3 + 3(\frac{1}{2})^2 - 2(\frac{1}{2}) + 4 = \frac{1}{8} + \frac{3}{4} - 1 + 4 = \frac{1}{8} + \frac{6}{8} + 3 = \frac{7}{8} + \frac{24}{8} = \frac{31}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $6$

(2) $10$

(3) $\frac{31}{8}$