(1) 2次方程式 $x^2 - ax + 3a - 5 = 0$ が重解を持つときの定数 $a$ の値を求める。 (2) 2次関数 $y = x^2 - 2x + m - 1$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持つときの定数 $m$ の値の範囲を求める。 (3) 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = -x + 6$ に共有点があればその座標を求める。 (4) 次の2次方程式の実数解の個数を求める。 i) $9x^2 + 12x + 4 = 0$ ii) $6x^2 - 7x + 3 = 0$ (5) $y = x^2 - 2ax + 1$ のグラフを、$x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線が原点を通るとき、$a$ の値を求める。 (6) 2次関数 $y = -3x^2 + x + 1$ と $x$ 軸の共有点の座標を求める。 (7) 3点 $(-1, 0)$, $(3, 0)$, $(0, 6)$ を通る放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 - ax + 3a - 5 = 0$ が重解を持つときの定数 $a$ の値を求める。

(2) 2次関数 $y = x^2 - 2x + m - 1$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持つときの定数 $m$ の値の範囲を求める。

(3) 放物線 $y = x^2$ と直線 $y = -x + 6$ に共有点があればその座標を求める。

(4) 次の2次方程式の実数解の個数を求める。

i) $9x^2 + 12x + 4 = 0$

ii) $6x^2 - 7x + 3 = 0$

(5) $y = x^2 - 2ax + 1$ のグラフを、$x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線が原点を通るとき、$a$ の値を求める。

(6) 2次関数 $y = -3x^2 + x + 1$ と $x$ 軸の共有点の座標を求める。

(7) 3点 $(-1, 0)$, $(3, 0)$, $(0, 6)$ を通る放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D = 0$ である。

$D = (-a)^2 - 4(1)(3a - 5) = a^2 - 12a + 20 = 0$

$(a - 2)(a - 10) = 0$

よって、$a = 2, 10$

(2)

2次関数のグラフが $x$ 軸と共有点を持つ条件は、判別式 $D \ge 0$ である。

$D = (-2)^2 - 4(1)(m - 1) = 4 - 4m + 4 = 8 - 4m \ge 0$

$4m \le 8$

$m \le 2$

(3)

2つのグラフの共有点を求めるには、2つの式を連立する。

$x^2 = -x + 6$

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x + 3)(x - 2) = 0$

$x = -3, 2$

$x = -3$ のとき $y = (-3)^2 = 9$

$x = 2$ のとき $y = 2^2 = 4$

よって、共有点の座標は $(-3, 9), (2, 4)$

(4)

i) $9x^2 + 12x + 4 = 0$

$D = 12^2 - 4(9)(4) = 144 - 144 = 0$

実数解の個数は1個。

ii) $6x^2 - 7x + 3 = 0$

$D = (-7)^2 - 4(6)(3) = 49 - 72 = -23 < 0$

実数解の個数は0個。

(5)

$y = x^2 - 2ax + 1$ を $x$ 軸方向に $-2$, $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動すると、

$y - 3 = (x + 2)^2 - 2a(x + 2) + 1$

$y = x^2 + 4x + 4 - 2ax - 4a + 1 + 3$

$y = x^2 + (4 - 2a)x - 4a + 8$

この放物線が原点を通るので、$(0, 0)$ を代入すると、

$0 = 0^2 + (4 - 2a)(0) - 4a + 8$

$0 = -4a + 8$

$4a = 8$

$a = 2$

(6)

$y = -3x^2 + x + 1$ と $x$ 軸の共有点の座標を求めるには、$y = 0$ として $x$ を求める。

$-3x^2 + x + 1 = 0$

$3x^2 - x - 1 = 0$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

よって、共有点の座標は $(\frac{1 + \sqrt{13}}{6}, 0), (\frac{1 - \sqrt{13}}{6}, 0)$

(7)

3点 $(-1, 0)$, $(3, 0)$, $(0, 6)$ を通る放物線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。

$(-1, 0)$ を通るので、$0 = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c$

$(3, 0)$ を通るので、$0 = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c$

$(0, 6)$ を通るので、$6 = a(0)^2 + b(0) + c = c$

$c = 6$ を代入して、

$a - b + 6 = 0$

$9a + 3b + 6 = 0$

$a - b = -6$

$9a + 3b = -6$

$3a + b = -2$

$a - b = -6$ と $3a + b = -2$ を足すと、

$4a = -8$

$a = -2$

$a = -2$ を $a - b = -6$ に代入すると、

$-2 - b = -6$

$-b = -4$

$b = 4$

よって、$y = -2x^2 + 4x + 6$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2, 10$

(2) $m \le 2$

(3) $(-3, 9), (2, 4)$

(4) i) 1個 ii) 0個

(5) $a = 2$

(6) $(\frac{1 + \sqrt{13}}{6}, 0), (\frac{1 - \sqrt{13}}{6}, 0)$

(7) $y = -2x^2 + 4x + 6$