(1) 連続する3つの偶数について、真ん中の数を7倍した数から、最も小さい数と最も大きい数の和を2倍した数を引いた差が、6の倍数になることを証明する。 (2) 連続する4つの整数の和が、最も小さい整数と最も大きい整数の和の2倍に等しくなることを証明する。

1. 問題の内容

(1) 連続する3つの偶数について、真ん中の数を7倍した数から、最も小さい数と最も大きい数の和を2倍した数を引いた差が、6の倍数になることを証明する。

(2) 連続する4つの整数の和が、最も小さい整数と最も大きい整数の和の2倍に等しくなることを証明する。

2. 解き方の手順

(1)

まず、連続する3つの偶数を文字で表す。最も小さい偶数を $2n$ とすると、連続する3つの偶数は $2n, 2n+2, 2n+4$ と表せる。

真ん中の数は $2n+2$ なので、真ん中の数を7倍した数は $7(2n+2) = 14n+14$ である。

最も小さい数と最も大きい数の和は $(2n) + (2n+4) = 4n+4$ である。

その和を2倍した数は $2(4n+4) = 8n+8$ である。

したがって、真ん中の数を7倍した数から、最も小さい数と最も大きい数の和を2倍した数を引いた差は

$$(14n+14) - (8n+8) = 14n + 14 - 8n - 8 = 6n + 6 = 6(n+1)$$

$n$ は整数なので、$n+1$ も整数である。したがって、$6(n+1)$ は6の倍数である。

(2)

連続する4つの整数を文字で表す。最も小さい整数を $n$ とすると、連続する4つの整数は $n, n+1, n+2, n+3$ と表せる。

連続する4つの整数の和は $n + (n+1) + (n+2) + (n+3) = 4n + 6$ である。

最も小さい整数は $n$ で、最も大きい整数は $n+3$ である。

最も小さい整数と最も大きい整数の和は $n + (n+3) = 2n+3$ である。

その和の2倍は $2(2n+3) = 4n+6$ である。

したがって、連続する4つの整数の和は、最も小さい整数と最も大きい整数の和の2倍に等しい。

3. 最終的な答え

(1) 連続する3つの偶数において、真ん中の数を7倍した数から、最も小さい数と最も大きい数の和を2倍した数を引いた差は、$6(n+1)$となり、これは6の倍数である。

(2) 連続する4つの整数の和は$4n+6$であり、最も小さい整数と最も大きい整数の和の2倍も$4n+6$である。したがって、連続する4つの整数の和は、最も小さい整数と最も大きい整数の和の2倍に等しい。