与えられた対数の性質と定義を利用して、以下の問題を解く。 (1) $\log_{10} 2 = a$ , $\log_{10} 3 = b$ のとき、$\log_{10} 360$ および $\log_4 13.5$ を $a, b$ で表す。 (2) 不等式 $\log_3(x+2) + \log_3(x-4) \leq 3$ を解く。 (3) 不等式 $2\log_{\frac{1}{3}}x > \log_{\frac{1}{3}}(x+2)$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた対数の性質と定義を利用して、以下の問題を解く。

(1) $\log_{10} 2 = a$ , $\log_{10} 3 = b$ のとき、$\log_{10} 360$ および $\log_4 13.5$ を $a, b$ で表す。

(2) 不等式 $\log_3(x+2) + \log_3(x-4) \leq 3$ を解く。

(3) 不等式 $2\log_{\frac{1}{3}}x > \log_{\frac{1}{3}}(x+2)$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $\log_{10} 360$ の計算

まず、$360$ を素因数分解すると、$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ となる。

よって、$\log_{10} 360 = \log_{10} (2^3 \times 3^2 \times 5) = \log_{10} 2^3 + \log_{10} 3^2 + \log_{10} 5$ となる。

$\log_{10} 2^3 = 3\log_{10} 2 = 3a$、$\log_{10} 3^2 = 2\log_{10} 3 = 2b$ である。

また、$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - a$ である。

したがって、$\log_{10} 360 = 3a + 2b + 1 - a = 2a + 2b + 1$ となる。

$\log_4 13.5$ の計算

$13.5 = \frac{27}{2} = \frac{3^3}{2}$ である。

$\log_4 13.5 = \log_4 \frac{3^3}{2} = \log_4 3^3 - \log_4 2 = 3\log_4 3 - \log_4 2$

ここで底の変換公式を用いて、$\log_4 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 4} = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2^2} = \frac{b}{2a}$

$\log_4 2 = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 4} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$

したがって、$\log_4 13.5 = 3 \times \frac{b}{2a} - \frac{1}{2} = \frac{3b - a}{2a}$ となる。

(2) 不等式 $\log_3(x+2) + \log_3(x-4) \leq 3$ の計算

真数条件より、$x+2 > 0$ かつ $x-4 > 0$ なので、$x > -2$ かつ $x > 4$。よって $x > 4$。

$\log_3(x+2) + \log_3(x-4) = \log_3[(x+2)(x-4)] \leq 3$

$(x+2)(x-4) \leq 3^3$

$x^2 - 2x - 8 \leq 27$

$x^2 - 2x - 35 \leq 0$

$(x-7)(x+5) \leq 0$

$-5 \leq x \leq 7$

真数条件 $x>4$ と合わせて、$4 < x \leq 7$

(3) 不等式 $2\log_{\frac{1}{3}}x > \log_{\frac{1}{3}}(x+2)$ の計算

真数条件より、$x > 0$ かつ $x+2 > 0$ なので、$x > 0$。

$\log_{\frac{1}{3}}x^2 > \log_{\frac{1}{3}}(x+2)$

底が $\frac{1}{3}$ なので、不等号の向きが反転する。

$x^2 < x+2$

$x^2 - x - 2 < 0$

$(x-2)(x+1) < 0$

$-1 < x < 2$

真数条件 $x>0$ と合わせて、$0 < x < 2$

3. 最終的な答え

(1) ア=2, イ=2, ウ=1, エ=3, オ=2

(2) カ=4, キ=7

(3) ク=0, ケ=2