医学専門書の価格設定に関する問題です。 (1) 1冊2400円での売上総額を求める。 (2) 売上総額が最大になる1冊あたりの価格を求める。 (3) 売上総額が884000円になるときの売上冊数をすべて求める。

1. 問題の内容

医学専門書の価格設定に関する問題です。

(1) 1冊2400円での売上総額を求める。

(2) 売上総額が最大になる1冊あたりの価格を求める。

(3) 売上総額が884000円になるときの売上冊数をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) 1冊2000円のとき400冊売れる。1冊の価格を $x$%上げると、売上冊数は $0.5x$%減る。

1冊2400円のとき、価格は $\frac{2400 - 2000}{2000} \times 100 = \frac{400}{2000} \times 100 = 20$%上がっている。つまり、$x = 20$。

売上冊数は、$400 - 400 \times \frac{0.5 \times 20}{100} = 400 - 400 \times \frac{10}{100} = 400 - 40 = 360$冊となる。

売上総額は、$2400 \times 360 = 864000$円。

(2) 1冊あたりの価格を $2000(1 + \frac{x}{100})$円とすると、売上冊数は $400(1 - \frac{0.5x}{100})$冊となる。

売上総額 $S$ は、

$S = 2000(1 + \frac{x}{100}) \times 400(1 - \frac{0.5x}{100}) = 800000(1 + \frac{x}{100})(1 - \frac{x}{200})$

$S = 800000(1 + \frac{x}{100} - \frac{x}{200} - \frac{x^2}{20000})$

$S = 800000(1 + \frac{x}{200} - \frac{x^2}{20000})$

$S = 800000 + 4000x - 40x^2$

$S = -40(x^2 - 100x) + 800000$

$S = -40(x^2 - 100x + 2500 - 2500) + 800000$

$S = -40(x - 50)^2 + 100000 + 800000$

$S = -40(x - 50)^2 + 900000$

売上総額が最大となるのは $x = 50$ のとき。

1冊あたりの価格は、$2000(1 + \frac{50}{100}) = 2000(1 + 0.5) = 2000 \times 1.5 = 3000$円。

(3) 売上総額が884000円になる時、

$884000 = -40(x - 50)^2 + 900000$

$40(x - 50)^2 = 900000 - 884000 = 16000$

$(x - 50)^2 = \frac{16000}{40} = 400$

$x - 50 = \pm \sqrt{400} = \pm 20$

$x = 50 \pm 20$

$x = 70$ または $x = 30$

$x = 70$ のとき、売上冊数は $400(1 - \frac{0.5 \times 70}{100}) = 400(1 - 0.35) = 400 \times 0.65 = 260$冊。

$x = 30$ のとき、売上冊数は $400(1 - \frac{0.5 \times 30}{100}) = 400(1 - 0.15) = 400 \times 0.85 = 340$冊。

3. 最終的な答え

(1) エ 864000円

(2) 3000円

(3) 260冊, 340冊