次の条件を満たす2次関数 $f(x)$ を求める問題です。 $f'(0) = -4$, $f''(2) = 0$, $f(0) = 8$

1. 問題の内容

次の条件を満たす2次関数 $f(x)$ を求める問題です。

$f'(0) = -4$, $f''(2) = 0$, $f(0) = 8$

2. 解き方の手順

まず、2次関数 $f(x)$ を一般形 $f(x) = ax^2 + bx + c$ とおきます。

次に、与えられた条件を用いて、$a, b, c$ の値を決定します。

(1) $f(x) = ax^2 + bx + c$ より、$f'(x) = 2ax + b$ となります。

(2) $f'(0) = -4$ より、$2a(0) + b = -4$、したがって $b = -4$ となります。

(3) $f''(x) = 2a$ となります。

$f''(2) = 0$ より、$2a = 0$、したがって $a = 0$ となります。

(4) $f(0) = 8$ より、$a(0)^2 + b(0) + c = 8$、したがって $c = 8$ となります。

しかし、$a=0$ という結果は、$f(x)$ が2次関数であるという条件に矛盾します。$f''(2) = 0$という条件は$f'(2) = 0$の間違いであると仮定します。

そうすると、$f'(x) = 2ax + b$ より、$f'(2) = 4a + b = 0$となります。$b = -4$なので、$4a - 4 = 0$となり、$a = 1$となります。

以上より、$a = 1$, $b = -4$, $c = 8$ となります。

したがって、$f(x) = x^2 - 4x + 8$ となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = x^2 - 4x + 8$