与えられた情報から、$Q^n = (S^{-1}PS)^n = S^{-1}P^nS$ であることがわかっている。また、$P^n = SQ^nS^{-1}$ という等式と以前の結果を用いて、$P^n$ を求め、それが問題09-2の結果と同じであることを確認する問題。$Q^n = \begin{pmatrix} 4^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$が与えられている。さらに、$S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$と$S^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$が与えられている。

1. 問題の内容

与えられた情報から、$Q^n = (S^{-1}PS)^n = S^{-1}P^nS$ であることがわかっている。また、$P^n = SQ^nS^{-1}$ という等式と以前の結果を用いて、$P^n$ を求め、それが問題09-2の結果と同じであることを確認する問題。$Q^n = \begin{pmatrix} 4^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$が与えられている。さらに、$S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$と$S^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$が与えられている。

2. 解き方の手順

まず、$P^n = SQ^nS^{-1}$ の式に、$S$, $Q^n$, $S^{-1}$ の値を代入する。

$P^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

次に、行列の積を計算する。

まず、$SQ^n$を計算する。

$SQ^n = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4^n & 2^n \\ 4^n & -2^n \end{pmatrix}$

次に、$(SQ^n)S^{-1}$を計算する。

$P^n = \begin{pmatrix} 4^n & 2^n \\ 4^n & -2^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

$P^n = \begin{pmatrix} \frac{4^n}{2} + \frac{2^n}{2} & \frac{4^n}{2} - \frac{2^n}{2} \\ \frac{4^n}{2} - \frac{2^n}{2} & \frac{4^n}{2} + \frac{2^n}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4^n + 2^n}{2} & \frac{4^n - 2^n}{2} \\ \frac{4^n - 2^n}{2} & \frac{4^n + 2^n}{2} \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$P^n = \begin{pmatrix} \frac{4^n + 2^n}{2} & \frac{4^n - 2^n}{2} \\ \frac{4^n - 2^n}{2} & \frac{4^n + 2^n}{2} \end{pmatrix}$