行列 $Q = (S^{-1}PS)^n$ を考える。$Q^n = (S^{-1}PS)^n = S^{-1}P^n S$ となることを示す。そして、$Q^n = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n$ であることから、$P^n = SQ^n S^{-1}$ を求め、問題 09-2 の結果と同じになることを確認する。

1. 問題の内容

行列 $Q = (S^{-1}PS)^n$ を考える。$Q^n = (S^{-1}PS)^n = S^{-1}P^n S$ となることを示す。そして、$Q^n = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n$ であることから、$P^n = SQ^n S^{-1}$ を求め、問題 09-2 の結果と同じになることを確認する。

2. 解き方の手順

まず、$Q^n = (S^{-1}PS)^n$ から $P^n = SQ^n S^{-1}$ を導き出す。

与えられた $Q^n = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n$ より、

$Q^n = \begin{pmatrix} 4^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$

となる。

次に、$P^n = SQ^n S^{-1}$ を計算するために、$S$ と $S^{-1}$ を求める。問題文に(1),(2),(3)の結果を用いると書いてあるのでそれを利用することを考える。しかし画像からは $S$、$P$の値がわからないので、ここでは具体的な計算はできない。一般的に$Q^n$を計算し、$S$と$S^{-1}$がわかれば、$P^n$を計算できる。もし、$P$が対角化可能な行列で、$S$が対角化するための変換行列であれば、$P = SDS^{-1}$ と表せる。このとき、$P^n = SD^n S^{-1}$ となり、$D$は $P$ の固有値を並べた対角行列になる。

したがって、$P^n = SQ^n S^{-1}$ を求めるためには、まず $Q^n$ を計算し、$S$ と $S^{-1}$ を求める必要がある。画像からはこれらの値が不明なため、具体的な $P^n$ を求めることはできない。

問題文中の式 $SQ^nS^{-1} = SS^{-1}P^nSS^{-1} = EP^nE = P^n$ は、単位行列$E$が挿入されているが、これは間違いであり、

$SQ^nS^{-1}=S(S^{-1}P^nS)S^{-1}=(SS^{-1})P^n(SS^{-1})=EP^nE=P^n$

となる。

3. 最終的な答え

$P^n = SQ^n S^{-1} = S \begin{pmatrix} 4^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} S^{-1}$

$S$と$S^{-1}$の値が不明のため、これ以上の計算はできない。しかし、$P^n$は対角行列 $\begin{pmatrix} 4^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix}$ を$S$と$S^{-1}$で変換したものになる。問題09-2の結果も同様の形式になるはずである。