等式 $2x^2 + 3x + 7 = a(x+1)^2 - b(x-2) + c$ が、$x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

等式 $2x^2 + 3x + 7 = a(x+1)^2 - b(x-2) + c$ が、$x$ についての恒等式であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

恒等式の性質を利用して、$a, b, c$ の値を求めます。恒等式は、どのような $x$ の値に対しても成り立つため、$x$ に適当な値を代入することで、$a, b, c$ に関する連立方程式を作り、それを解くことができます。または、右辺を展開して、両辺の係数を比較する方法も利用できます。今回は係数比較を利用します。

右辺を展開します。

\begin{align*}

a(x+1)^2 - b(x-2) + c &= a(x^2 + 2x + 1) - b(x-2) + c \\

&= ax^2 + 2ax + a - bx + 2b + c \\

&= ax^2 + (2a - b)x + (a + 2b + c)

\end{align*}

したがって、

$2x^2 + 3x + 7 = ax^2 + (2a - b)x + (a + 2b + c)$

が恒等式であるためには、各項の係数が等しくなければなりません。よって、以下の連立方程式を得ます。

\begin{align}

a &= 2 \label{eq:1} \\

2a - b &= 3 \label{eq:2} \\

a + 2b + c &= 7 \label{eq:3}

\end{align}

式（1）から、$a = 2$ です。

式（2）に $a = 2$ を代入すると、

$2(2) - b = 3$

$4 - b = 3$

$b = 1$

式（3）に $a = 2$ と $b = 1$ を代入すると、

$2 + 2(1) + c = 7$

$2 + 2 + c = 7$

$4 + c = 7$

$c = 3$

よって、$a = 2$, $b = 1$, $c = 3$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = 1$

$c = 3$