$x>0$ のとき、不等式 $x + \frac{25}{x} \geq 10$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

1. 問題の内容

$x>0$ のとき、不等式 $x + \frac{25}{x} \geq 10$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、相加平均と相乗平均の関係を利用します。

$x>0$ かつ $\frac{25}{x} > 0$ なので、相加平均と相乗平均の関係から、

$$\frac{x + \frac{25}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{25}{x}}$$

したがって、

$$x + \frac{25}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{25}{x}}$$

$$x + \frac{25}{x} \geq 2\sqrt{25}$$

$$x + \frac{25}{x} \geq 2 \cdot 5$$

$$x + \frac{25}{x} \geq 10$$

よって、$x + \frac{25}{x} \geq 10$ が証明されました。

等号が成り立つのは、$x = \frac{25}{x}$ のときです。

$x^2 = 25$

$x > 0$ より、$x = 5$ のときです。

3. 最終的な答え

ミ：2

ムメ：10

モヤ：25

ユ：5