実数 $a, b, c, x$ に関する以下の4つの命題について、必要条件、十分条件、必要十分条件、必要条件でも十分条件でもない、のうちどれが適するか答える問題です。 (1) $x=2$ は $x^2 + x - 6 = 0$ であるための (2) $\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ は $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ であるための (3) $a = b$ は $a + c = b + c$ であるための (4) $a > b$ は $a^2 > b^2$ であるための

1. 問題の内容

実数 $a, b, c, x$ に関する以下の4つの命題について、必要条件、十分条件、必要十分条件、必要条件でも十分条件でもない、のうちどれが適するか答える問題です。

(1) $x=2$ は $x^2 + x - 6 = 0$ であるための

(2) $\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ は $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ であるための

(3) $a = b$ は $a + c = b + c$ であるための

(4) $a > b$ は $a^2 > b^2$ であるための

2. 解き方の手順

(1)

$x=2$ ならば、 $x^2 + x - 6 = 2^2 + 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$ なので、$x=2$ は $x^2 + x - 6 = 0$ であるための十分条件です。

$x^2 + x - 6 = 0$ を解くと、 $(x+3)(x-2) = 0$ より $x = 2, -3$ 。したがって、$x^2 + x - 6 = 0$ ならば $x = 2$ とは限らないので、必要条件ではありません。

よって、$x=2$ は $x^2 + x - 6 = 0$ であるための十分条件であるが必要条件ではありません。

(2)

$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ ならば、当然 $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ なので、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ は $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ であるための十分条件です。

$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ ならば、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ とは限りません。例えば、$\triangle ABC$ の各辺の長さが $\triangle PQR$ の各辺の長さの2倍であるような場合が考えられます。したがって、$\triangle ABC \sim \triangle PQR$ は $\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための必要条件ではありません。

よって、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ は $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ であるための十分条件であるが必要条件ではありません。

(3)

$a = b$ ならば、両辺に $c$ を加えて $a + c = b + c$ 。

$a + c = b + c$ ならば、両辺から $c$ を引いて $a = b$ 。

したがって、$a = b$ は $a + c = b + c$ であるための必要十分条件です。

(4)

$a > b$ ならば $a^2 > b^2$ とは限りません。

例: $a = 1$, $b = -2$ のとき、$a > b$ ですが、$a^2 = 1$, $b^2 = 4$ であり、$a^2 < b^2$ となります。

$a > b$ かつ $a, b > 0$ ならば $a^2 > b^2$ です。

$a^2 > b^2$ ならば $a > b$ とも限りません。

例: $a = 1$, $b = -2$ のとき、$a^2 = 1$, $b^2 = 4$ であり、$a^2 < b^2$ となります。

$a = 2$, $b = -1$ のとき、$a^2 = 4$, $b^2 = 1$ であり、$a^2 > b^2$ ですが、$a > b$ です。

$a = -1$, $b = -2$ のとき、$a^2 = 1$, $b^2 = 4$ であり、$a^2 < b^2$ であり、$a > b$ です。

$a^2 > b^2$ かつ $a, b > 0$ ならば $a > b$ です。

したがって、$a > b$ は $a^2 > b^2$ であるための必要条件でも十分条件でもありません。

3. 最終的な答え

(1) 十分条件であるが必要条件ではない

(2) 十分条件であるが必要条件ではない

(3) 必要十分条件である

(4) 必要条件でも十分条件でもない