実数 $x, y$ が3つの不等式 $y \geq 2x-5$, $y \leq x-1$, $y \geq 0$ を満たすとき、$x^2 + (y-3)^2$ の最大値および最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が3つの不等式 $y \geq 2x-5$, $y \leq x-1$, $y \geq 0$ を満たすとき、$x^2 + (y-3)^2$ の最大値および最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を満たす領域を図示します。

不等式 $y \geq 2x-5$ は直線 $y = 2x - 5$ の上側の領域を表します。

不等式 $y \leq x-1$ は直線 $y = x - 1$ の下側の領域を表します。

不等式 $y \geq 0$ は $x$ 軸の上側の領域を表します。

これらの不等式をすべて満たす領域は、３つの直線で囲まれた三角形になります。

三角形の頂点の座標を求めます。

- $y = 2x - 5$ と $y = x - 1$ の交点:

$2x - 5 = x - 1$ を解くと $x = 4$。このとき $y = 4 - 1 = 3$。したがって、交点は $(4, 3)$ です。

- $y = 2x - 5$ と $y = 0$ の交点:

$0 = 2x - 5$ を解くと $x = \frac{5}{2}$。したがって、交点は $(\frac{5}{2}, 0)$ です。

- $y = x - 1$ と $y = 0$ の交点:

$0 = x - 1$ を解くと $x = 1$。したがって、交点は $(1, 0)$ です。

したがって、領域の頂点は $(4, 3)$, $(\frac{5}{2}, 0)$, $(1, 0)$ です。

次に、$x^2 + (y-3)^2$ の最大値と最小値を求めます。

これは点 $(x, y)$ と点 $(0, 3)$ の距離の2乗を表しています。

したがって、領域内の点 $(x, y)$ と点 $(0, 3)$ の距離の2乗が最大および最小となる点を求めればよいです。

領域の頂点でこの値を確認します。

- $(4, 3)$ のとき: $4^2 + (3-3)^2 = 16 + 0 = 16$

- $(\frac{5}{2}, 0)$ のとき: $(\frac{5}{2})^2 + (0-3)^2 = \frac{25}{4} + 9 = \frac{25 + 36}{4} = \frac{61}{4} = 15.25$

- $(1, 0)$ のとき: $1^2 + (0-3)^2 = 1 + 9 = 10$

したがって、最大値は16、最小値は10です。

3. 最終的な答え

最大値: 16

最小値: 10