方程式 $|x| + |x-2| = 4$ を解く。

1. 問題の内容

方程式 $|x| + |x-2| = 4$ を解く。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために場合分けを行う。

(i) $x < 0$ のとき

$|x| = -x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ であるから、方程式は

$-x + (-x+2) = 4$

$-2x + 2 = 4$

$-2x = 2$

$x = -1$

これは $x < 0$ を満たすので、解である。

(ii) $0 \le x < 2$ のとき

$|x| = x$ かつ $|x-2| = -(x-2) = -x+2$ であるから、方程式は

$x + (-x+2) = 4$

$x - x + 2 = 4$

$2 = 4$

これは成り立たないので、この範囲に解はない。

(iii) $x \ge 2$ のとき

$|x| = x$ かつ $|x-2| = x-2$ であるから、方程式は

$x + (x-2) = 4$

$2x - 2 = 4$

$2x = 6$

$x = 3$

これは $x \ge 2$ を満たすので、解である。

3. 最終的な答え

$x = -1, 3$