与えられた2つの方程式を解く問題です。 (1) $(x-1)^2 + 3(x-1) + 3 = 0$ (2) $x(x+1)(x+2) = 4 \cdot 5 \cdot 6$

1. 問題の内容

与えられた2つの方程式を解く問題です。

(1) $(x-1)^2 + 3(x-1) + 3 = 0$

(2) $x(x+1)(x+2) = 4 \cdot 5 \cdot 6$

2. 解き方の手順

(1) $y = x-1$ とおくと、方程式は $y^2 + 3y + 3 = 0$ となります。

この2次方程式を解くために、解の公式を用います。解の公式は $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。この場合、$a=1$, $b=3$, $c=3$ なので、

$y = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{2}$

ここで、$y = x-1$ より、$x = y+1$ なので、

$x = \frac{-3 \pm i\sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{-3 \pm i\sqrt{3} + 2}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(2) $x(x+1)(x+2) = 4 \cdot 5 \cdot 6$

$x(x+1)(x+2) = 120$

$x(x^2 + 3x + 2) = 120$

$x^3 + 3x^2 + 2x = 120$

$x^3 + 3x^2 + 2x - 120 = 0$

$x = 4$ を代入すると、$4^3 + 3(4^2) + 2(4) - 120 = 64 + 48 + 8 - 120 = 120 - 120 = 0$ となり、$x=4$ が解の一つであることがわかります。

したがって、$x-4$ は $x^3 + 3x^2 + 2x - 120$ の因数です。

筆算または組み立て除法により、$(x-4)(x^2 + 7x + 30) = 0$ と因数分解できます。

$x^2 + 7x + 30 = 0$ の解を求めるために、解の公式を用います。

$x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(30)}}{2(1)} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 120}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{-71}}{2} = \frac{-7 \pm i\sqrt{71}}{2}$

したがって、解は $x = 4, \frac{-7 \pm i\sqrt{71}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(2) $x = 4, \frac{-7 \pm i\sqrt{71}}{2}$