2桁の正の整数があり、その十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる2桁の整数は、元の整数の2倍より1小さい。また、元の整数の一の位の数より2大きい数を3で割ると、割り切れて、商が元の整数の十の位の数と等しくなる。元の整数を求めよ。

1. 問題の内容

2桁の正の整数があり、その十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる2桁の整数は、元の整数の2倍より1小さい。また、元の整数の一の位の数より2大きい数を3で割ると、割り切れて、商が元の整数の十の位の数と等しくなる。元の整数を求めよ。

2. 解き方の手順

元の整数の十の位を $a$, 一の位を $b$ とする。

* 条件1: 入れ替えた整数は元の整数の2倍より1小さい。

$10b + a = 2(10a + b) - 1$

$10b + a = 20a + 2b - 1$

$19a - 8b = 1$ ...(1)

* 条件2: $b$ より 2 大きい数を 3 で割ると、$a$ になる。

$\frac{b+2}{3} = a$

$b+2 = 3a$

$-3a + b = -2$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(2)より、$b = 3a-2$

(1)に代入して、

$19a - 8(3a-2) = 1$

$19a - 24a + 16 = 1$

$-5a = -15$

$a = 3$

$b = 3a-2 = 3(3) - 2 = 9 - 2 = 7$

よって、元の整数は $10a + b = 10(3) + 7 = 30 + 7 = 37$

3. 最終的な答え

37