(1) $a$ を定数とする。2次関数 $f(x) = 5x^2 + 12(a-2)x + 10a^2 - 36a + 36$ の最小値を $a$ を用いて表せ。 (2) $b + 2c + 3d = 6$ のとき、$b^2 + c^2 + d^2$ の最小値を与える $b, c, d$ の値と、そのときの最小値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $a$ を定数とする。2次関数 $f(x) = 5x^2 + 12(a-2)x + 10a^2 - 36a + 36$ の最小値を $a$ を用いて表せ。

(2) $b + 2c + 3d = 6$ のとき、$b^2 + c^2 + d^2$ の最小値を与える $b, c, d$ の値と、そのときの最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $f(x)$ を平方完成する。

\begin{align*}

f(x) &= 5x^2 + 12(a-2)x + 10a^2 - 36a + 36 \\

&= 5\left(x^2 + \frac{12(a-2)}{5}x\right) + 10a^2 - 36a + 36 \\

&= 5\left(x + \frac{6(a-2)}{5}\right)^2 - 5\left(\frac{6(a-2)}{5}\right)^2 + 10a^2 - 36a + 36 \\

&= 5\left(x + \frac{6(a-2)}{5}\right)^2 - \frac{36(a^2 - 4a + 4)}{5} + 10a^2 - 36a + 36 \\

&= 5\left(x + \frac{6(a-2)}{5}\right)^2 - \frac{36}{5}a^2 + \frac{144}{5}a - \frac{144}{5} + \frac{50}{5}a^2 - \frac{180}{5}a + \frac{180}{5} \\

&= 5\left(x + \frac{6(a-2)}{5}\right)^2 + \frac{14}{5}a^2 - \frac{36}{5}a + \frac{36}{5} \\

&= 5\left(x + \frac{6(a-2)}{5}\right)^2 + \frac{14a^2 - 36a + 36}{5}

\end{align*}

最小値は $\frac{14a^2 - 36a + 36}{5}$ となる。

(2) コーシー・シュワルツの不等式を利用する。

$(b^2 + c^2 + d^2)(1^2 + 2^2 + 3^2) \ge (b + 2c + 3d)^2$

$(b^2 + c^2 + d^2)(1 + 4 + 9) \ge 6^2$

$14(b^2 + c^2 + d^2) \ge 36$

$b^2 + c^2 + d^2 \ge \frac{36}{14} = \frac{18}{7}$

等号成立条件は、$\frac{b}{1} = \frac{c}{2} = \frac{d}{3} = k$ となる実数 $k$ が存在することである。

$b = k, c = 2k, d = 3k$ を $b + 2c + 3d = 6$ に代入する。

$k + 2(2k) + 3(3k) = 6$

$k + 4k + 9k = 6$

$14k = 6$

$k = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$

よって、$b = \frac{3}{7}, c = \frac{6}{7}, d = \frac{9}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{14a^2 - 36a + 36}{5}$

(2) $b = \frac{3}{7}, c = \frac{6}{7}, d = \frac{9}{7}$, 最小値は $\frac{18}{7}$