(1) 定数 $a$ を用いて定義される2次関数 $f(x) = 5x^2 + 12(a-2)x + 10a^2 - 36a + 36$ の最小値を、$a$ を用いて表す。 (2) $b+2c+3d = 6$ の条件の下で、$b^2+c^2+d^2$ の最小値、および最小値を与える $b, c, d$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 定数 $a$ を用いて定義される2次関数 $f(x) = 5x^2 + 12(a-2)x + 10a^2 - 36a + 36$ の最小値を、$a$ を用いて表す。

(2) $b+2c+3d = 6$ の条件の下で、$b^2+c^2+d^2$ の最小値、および最小値を与える $b, c, d$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $f(x) = 5x^2 + 12(a-2)x + 10a^2 - 36a + 36$ を平方完成させる。

\begin{align*} f(x) &= 5 \left( x^2 + \frac{12}{5}(a-2)x \right) + 10a^2 - 36a + 36 \\ &= 5 \left( x + \frac{6}{5}(a-2) \right)^2 - 5 \left( \frac{6}{5}(a-2) \right)^2 + 10a^2 - 36a + 36 \\ &= 5 \left( x + \frac{6}{5}(a-2) \right)^2 - \frac{36}{5}(a^2 - 4a + 4) + 10a^2 - 36a + 36 \\ &= 5 \left( x + \frac{6}{5}(a-2) \right)^2 - \frac{36}{5}a^2 + \frac{144}{5}a - \frac{144}{5} + 10a^2 - 36a + 36 \\ &= 5 \left( x + \frac{6}{5}(a-2) \right)^2 + \left( 10 - \frac{36}{5} \right) a^2 + \left( \frac{144}{5} - 36 \right) a + \left( 36 - \frac{144}{5} \right) \\ &= 5 \left( x + \frac{6}{5}(a-2) \right)^2 + \frac{14}{5} a^2 - \frac{36}{5} a + \frac{36}{5} \end{align*}

最小値は $x = -\frac{6}{5}(a-2)$ のときに $\frac{14}{5}a^2 - \frac{36}{5}a + \frac{36}{5}$ となる。

(2) コーシー・シュワルツの不等式を用いる。

$(b^2+c^2+d^2)(1^2 + 2^2 + 3^2) \geq (b+2c+3d)^2$

が成立する。

与えられた条件 $b+2c+3d=6$ を代入すると、

$(b^2+c^2+d^2)(1+4+9) \geq 6^2$

$(b^2+c^2+d^2)(14) \geq 36$

$b^2+c^2+d^2 \geq \frac{36}{14} = \frac{18}{7}$

等号が成立するのは $\frac{b}{1} = \frac{c}{2} = \frac{d}{3} = k$ となる $k$ が存在するとき。

つまり $b = k, c = 2k, d = 3k$ である。

これを $b+2c+3d = 6$ に代入すると

$k+2(2k)+3(3k) = 6$

$k+4k+9k = 6$

$14k = 6$

$k = \frac{3}{7}$

よって $b = \frac{3}{7}, c = \frac{6}{7}, d = \frac{9}{7}$

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $\frac{14}{5} a^2 - \frac{36}{5} a + \frac{36}{5}$

(2) $b^2+c^2+d^2$ の最小値: $\frac{18}{7}$

最小値を与える $b, c, d$ の値: $b = \frac{3}{7}, c = \frac{6}{7}, d = \frac{9}{7}$