直線 $y = 2ax + b$ において、$1 < x < 5$ の範囲での $y$ の値域が $3 < y < 12$ となるように、定数 $a$, $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = 2ax + b$ において、$1 < x < 5$ の範囲での $y$ の値域が $3 < y < 12$ となるように、定数 $a$, $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$y = 2ax + b$ は直線を表すので、$a$ の符号によって $x$ が増加するときの $y$ の増減が変わる。

(i) $a > 0$ の場合:

$x=1$ のとき、$y$ は最小値 $3$ をとる。

$x=5$ のとき、$y$ は最大値 $12$ をとる。

したがって、

$2a(1) + b = 3$

$2a(5) + b = 12$

これを解く。

$2a + b = 3$

$10a + b = 12$

2番目の式から1番目の式を引くと、

$8a = 9$

$a = \frac{9}{8}$

これを1番目の式に代入すると、

$2(\frac{9}{8}) + b = 3$

$\frac{9}{4} + b = 3$

$b = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12}{4} - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}$

(ii) $a < 0$ の場合:

$x=1$ のとき、$y$ は最大値 $12$ をとる。

$x=5$ のとき、$y$ は最小値 $3$ をとる。

したがって、

$2a(1) + b = 12$

$2a(5) + b = 3$

これを解く。

$2a + b = 12$

$10a + b = 3$

2番目の式から1番目の式を引くと、

$8a = -9$

$a = -\frac{9}{8}$

これを1番目の式に代入すると、

$2(-\frac{9}{8}) + b = 12$

$-\frac{9}{4} + b = 12$

$b = 12 + \frac{9}{4} = \frac{48}{4} + \frac{9}{4} = \frac{57}{4}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{9}{8}, b = \frac{3}{4}$ または $a = -\frac{9}{8}, b = \frac{57}{4}$