与えられた斉次連立一次方程式を解きます。 連立方程式は以下の通りです。 $x - y + 5z = 0$ $x - 2y + 8z = 0$ $3x + y + 3z = 0$

1. 問題の内容

与えられた斉次連立一次方程式を解きます。

連立方程式は以下の通りです。

$x - y + 5z = 0$

$x - 2y + 8z = 0$

$3x + y + 3z = 0$

2. 解き方の手順

与えられた連立方程式を行列で表現すると、次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 5 \\ 1 & -2 & 8 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この行列を簡約化するために、以下の行基本変形を行います。

まず、2行目から1行目を引きます（$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$）：

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 5 \\ 0 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

次に、3行目から1行目の3倍を引きます（$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$）：

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 5 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & -12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

次に、2行目を-1倍します（$R_2 \rightarrow -R_2$）：

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 5 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 4 & -12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

次に、3行目から2行目の4倍を引きます（$R_3 \rightarrow R_3 - 4R_2$）：

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 5 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

最後に、1行目に2行目を足します（$R_1 \rightarrow R_1 + R_2$）：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この結果から、以下の連立方程式が得られます。

$x + 2z = 0$

$y - 3z = 0$

したがって、$x = -2z$、$y = 3z$となります。

$z = t$とおくと、$x = -2t$、$y = 3t$と表せます。

3. 最終的な答え

解は、

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

（$t$は任意の実数）

すなわち、$x = -2t, y = 3t, z = t$ ($t$は任意の実数)