2次方程式 $x^2 - 2x + a = 0$ （$a$ は 0 でない実数の定数）の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。$\alpha$, $\beta$ が虚数で、$\frac{\beta^2}{\alpha}$ と $\frac{\alpha^2}{\beta}$ が実数のとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2x + a = 0$ （$a$ は 0 でない実数の定数）の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とする。$\alpha$, $\beta$ が虚数で、$\frac{\beta^2}{\alpha}$ と $\frac{\alpha^2}{\beta}$ が実数のとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\alpha$と$\beta$が虚数解を持つ条件を求める。判別式を$D$とすると、$D = (-2)^2 - 4a = 4 - 4a = 4(1-a)$ である。虚数解を持つためには $D < 0$ である必要があるので、$4(1-a) < 0$ より、$a > 1$ である。

次に、解と係数の関係から、$\alpha + \beta = 2$ および $\alpha \beta = a$ が得られる。

$\frac{\beta^2}{\alpha}$ と $\frac{\alpha^2}{\beta}$ が実数であることから、$\frac{\beta^2}{\alpha} = \overline{\left( \frac{\beta^2}{\alpha} \right)} = \frac{\overline{\beta}^2}{\overline{\alpha}}$ と $\frac{\alpha^2}{\beta} = \overline{\left( \frac{\alpha^2}{\beta} \right)} = \frac{\overline{\alpha}^2}{\overline{\beta}}$ が成り立つ。

$\alpha$と$\beta$は共役な複素数であるから、$\overline{\alpha} = \beta$ と $\overline{\beta} = \alpha$ である。したがって、

$\frac{\beta^2}{\alpha} = \frac{\alpha^2}{\beta}$ となる。

よって、$\beta^3 = \alpha^3$ から $\beta = \alpha$ となるか、$\alpha = \omega \beta$ または $\alpha = \omega^2 \beta$ となる。ここで $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ であり、$\omega^3 = 1$ である。

$\alpha, \beta$ は虚数であるから、$\alpha \neq \beta$。

したがって $\alpha = \omega \beta$ または $\alpha = \omega^2 \beta$ である。

$\alpha + \beta = 2$ より、$\omega \beta + \beta = 2$ または $\omega^2 \beta + \beta = 2$ となる。

$\beta(1 + \omega) = 2$ または $\beta(1 + \omega^2) = 2$ となる。

ここで、$1 + \omega = -\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$ かつ $1 + \omega^2 = -\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ である。

よって、$\beta = \frac{2}{1 + \omega} = \frac{2}{-\omega^2} = -2 \omega = 1 - i\sqrt{3}$ または $\beta = \frac{2}{1 + \omega^2} = \frac{2}{-\omega} = -2 \omega^2 = 1 + i\sqrt{3}$ となる。

$\beta = 1 - i\sqrt{3}$ のとき、$\alpha = \omega \beta = \omega (1 - i\sqrt{3}) = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} (1 - i\sqrt{3}) = \frac{-1 + i\sqrt{3} + i\sqrt{3} + 3}{2} = \frac{2 + 2i\sqrt{3}}{2} = 1 + i\sqrt{3}$ となる。

このとき、$\alpha \beta = (1 + i\sqrt{3})(1 - i\sqrt{3}) = 1 - (i\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$ である。

$\beta = 1 + i\sqrt{3}$ のとき、$\alpha = \omega^2 \beta = \omega^2 (1 + i\sqrt{3}) = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} (1 + i\sqrt{3}) = \frac{-1 - i\sqrt{3} - i\sqrt{3} + 3}{2} = \frac{2 - 2i\sqrt{3}}{2} = 1 - i\sqrt{3}$ となる。

このとき、$\alpha \beta = (1 - i\sqrt{3})(1 + i\sqrt{3}) = 1 - (i\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$ である。

いずれの場合も、$a = \alpha \beta = 4$ であり、$a > 1$ を満たす。

3. 最終的な答え

$a = 4$