実数 $x$ についての2つの不等式 $2x^2 - 5x - 7 \ge 0$　…① $|x - a| \le 2$　…② がある。ただし、$a$ は実数の定数とする。 (1) ①を解け。 (2) $a = 1$ のとき、②を解け。 (3) ①、②をともに満たす整数 $x$ が存在しないような $a$ の値の範囲を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

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1. 問題の内容

実数 $x$ についての2つの不等式

$2x^2 - 5x - 7 \ge 0$　…①

$|x - a| \le 2$　…②

がある。ただし、$a$ は実数の定数とする。

(1) ①を解け。

(2) $a = 1$ のとき、②を解け。

(3) ①、②をともに満たす整数 $x$ が存在しないような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

不等式①を解く。

$2x^2 - 5x - 7 \ge 0$

$(2x - 7)(x + 1) \ge 0$

よって、$x \le -1$ または $x \ge \frac{7}{2}$

(2)

$a = 1$ のとき、不等式②は

$|x - 1| \le 2$

$-2 \le x - 1 \le 2$

$-1 \le x \le 3$

(3)

不等式①の解は $x \le -1$ または $x \ge \frac{7}{2} = 3.5$

不等式②の解は $a - 2 \le x \le a + 2$

①、②をともに満たす整数 $x$ が存在しないためには、

$a - 2 > -1$ かつ $a + 2 < 3.5$

または

$a - 2 > 3.5$ かつ $a + 2 < -1$

となる必要がある。

前者の場合:

$a - 2 > -1$ より $a > 1$

$a + 2 < 3.5$ より $a < 1.5$

よって、$1 < a < 1.5$

後者の場合:

$a - 2 > 3.5$ より $a > 5.5$

$a + 2 < -1$ より $a < -3$

これはありえない。

また、$x=-1$ が不等式②を満たさない条件と、$x=4$ が不等式②を満たさない条件を考える。

$a - 2 \le x \le a + 2$ より、$a-2 > -1$ かつ $a + 2 < 4$であれば良い。

$a - 2 > -1$ より $a > 1$

$a + 2 < 4$ より $a < 2$

$1 < a < 2$

$x$ が整数値を持たないためには、$a-2$と$a+2$の間に$-1,4$が入らないようにする必要がある。つまり、

$a-2 > -1$かつ$a+2<4$を満たせば良い。

$a > 1$かつ$a < 2$

したがって、$1 < a < 2$

3. 最終的な答え

(1) $x \le -1$ または $x \ge \frac{7}{2}$

(2) $-1 \le x \le 3$

(3) $1 < a < \frac{7}{2}$

**[2]**

1. 問題の内容

$O$ を原点とする $xy$ 平面上に円 $C: x^2 + y^2 - 2x - 8y + 13 = 0$ がある。

(1) $C$ の中心の座標と半径を求めよ。

(2) 点 $(4, 0)$ を中心とし、$C$ と外接する円を $C'$ とする。$C'$ の半径を求めよ。

(3) (2) の $C'$ と $C$ の接点を $A$ とする。$A$ における $C$ の接線の方程式を求めよ。また、$O$ を中心とし、$l$ に接する円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

円 $C$ の方程式を平方完成する。

$x^2 - 2x + y^2 - 8y + 13 = 0$

$(x - 1)^2 - 1 + (y - 4)^2 - 16 + 13 = 0$

$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 4$

よって、中心 $(1, 4)$、半径 $2$

(2)

$C$ の中心を $P(1, 4)$、$C'$ の中心を $Q(4, 0)$ とする。

$C$ の半径を $r = 2$、$C'$ の半径を $R$ とすると、$PQ = r + R$

$PQ = \sqrt{(4 - 1)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

$5 = 2 + R$

$R = 3$

(3)

接点 $A$ は線分 $PQ$ を $2:3$ に内分する点である。

$A = \left( \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 4}{2 + 3}, \frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot 0}{2 + 3} \right) = \left( \frac{11}{5}, \frac{12}{5} \right)$

$C$ の接線は、中心 $(1, 4)$ と接点 $\left( \frac{11}{5}, \frac{12}{5} \right)$ を結ぶ直線に垂直である。

傾きは $\frac{\frac{12}{5} - 4}{\frac{11}{5} - 1} = \frac{\frac{12 - 20}{5}}{\frac{11 - 5}{5}} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

よって、接線の傾きは $\frac{3}{4}$

接線の方程式は $y - \frac{12}{5} = \frac{3}{4} \left( x - \frac{11}{5} \right)$

$y = \frac{3}{4} x - \frac{33}{20} + \frac{48}{20} = \frac{3}{4} x + \frac{15}{20} = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4}$

$4y = 3x + 3$

$3x - 4y + 3 = 0$

原点 $O$ と直線 $l: 3x - 4y + 3 = 0$ の距離は

$\frac{|3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 3|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{3}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{3}{5}$

したがって、原点 $O$ を中心とし、$l$ に接する円の半径は $\frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(1, 4)$、半径 $2$

(2) $3$

(3) 接線の方程式 $3x - 4y + 3 = 0$、半径 $\frac{3}{5}$