2次不等式 $x^2+2mx+2m+3 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2+2mx+2m+3 > 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

2次不等式 $x^2+2mx+2m+3>0$ の解がすべての実数であるための条件は、2次関数 $y = x^2+2mx+2m+3$ のグラフが常に $x$ 軸より上にあることです。

これは、2次方程式 $x^2+2mx+2m+3=0$ が実数解を持たない、つまり判別式 $D$ が負であることと同値です。

判別式 $D$ は次のように計算できます。

$D = (2m)^2 - 4(1)(2m+3)$

$D = 4m^2 - 8m - 12$

$D < 0$ であることが条件なので、

$4m^2 - 8m - 12 < 0$

両辺を4で割ると、

$m^2 - 2m - 3 < 0$

$(m-3)(m+1) < 0$

したがって、$-1 < m < 3$ が解となります。

3. 最終的な答え

$-1 < m < 3$