与えられた問題は、いくつかの数学の問題から構成されています。主に、式の値を求めたり、方程式を解いたりする問題です。具体的には、以下の3つのタイプの問題があります。 * 式の値の計算: $x$ の値が与えられたとき、特定の式の値を計算する。 * 方程式を解く: 与えられた方程式を満たす $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、いくつかの数学の問題から構成されています。主に、式の値を求めたり、方程式を解いたりする問題です。具体的には、以下の3つのタイプの問題があります。

* 式の値の計算: $x$ の値が与えられたとき、特定の式の値を計算する。

* 方程式を解く: 与えられた方程式を満たす $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

画像を基に、問題32-2、問題33-1、問題33-2の解き方を説明します。

**問題32-2**

1. $x = -\sqrt{5}$ のとき、$x^2 + 2x + 1$ の値を求める。

この式は $(x+1)^2$ と変形できる。したがって、$(-\sqrt{5} + 1)^2 = (-\sqrt{5})^2 + 2(-\sqrt{5})(1) + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$

2. $x = 3 - 2\sqrt{2}$ のとき、$x^2 - 2x + 1$ の値を求める。

この式は $(x-1)^2$ と変形できる。したがって、$(3 - 2\sqrt{2} - 1)^2 = (2 - 2\sqrt{2})^2 = 4 - 8\sqrt{2} + 8 = 12 - 8\sqrt{2}$

3. $x + y = \sqrt{7}$ のとき、$(x+y)^2$ の値を求める。

$(x+y)^2 = (\sqrt{7})^2 = 7$

4. $x+y = \sqrt{2}+3, xy = \sqrt{2}-3$のとき、$x^2+xy+y^2$の値を求める。

$x^2+xy+y^2 = (x+y)^2 - xy = (\sqrt{2}+3)^2 - (\sqrt{2}-3) = (2 + 6\sqrt{2} + 9) - \sqrt{2} + 3 = 14 + 5\sqrt{2}$

**問題33-1**

1. $x^2 - 400 = 0$

$x^2 = 400$

$x = \pm \sqrt{400} = \pm 20$

2. $3x^2 = 48$

$x^2 = 16$

$x = \pm \sqrt{16} = \pm 4$

3. $x^2 - 3 = 1$

$x^2 = 4$

$x = \pm \sqrt{4} = \pm 2$

4. $x^2 - 3 = 6$

$x^2 = 9$

$x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$

5. $6x^2 + 7 = 28$

$6x^2 = 21$

$x^2 = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{2}} = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$

6. $20x^2 - 8 = 2x^2$

$18x^2 = 8$

$x^2 = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{9}} = \pm \frac{2}{3}$

**問題33-2**

1. $x^2 - 54 = 0$

$x^2 = 54$

$x = \pm \sqrt{54} = \pm 3\sqrt{6}$

2. $2x^2 = 48$

$x^2 = 24$

$x = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$

3. $x^2 - 6 = 1$

$x^2 = 7$

$x = \pm \sqrt{7}$

4. $x^2 - 8 = 11$

$x^2 = 19$

$x = \pm \sqrt{19}$

5. $4x^2 + 5 = 29$

$4x^2 = 24$

$x^2 = 6$

$x = \pm \sqrt{6}$

6. $15x^2 - 7 = 4x^2$

$11x^2 = 7$

$x^2 = \frac{7}{11}$

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{11}} = \pm \frac{\sqrt{77}}{11}$

**問題34-1**

1. $(x-1)^2 = 25$

$x-1 = \pm 5$

$x = 1 \pm 5$

$x = 6, -4$

2. $(x-4)^2 = 100$

$x-4 = \pm 10$

$x = 4 \pm 10$

$x = 14, -6$

3. $2(x-3)^2 = 200$

$(x-3)^2 = 100$

$x-3 = \pm 10$

$x = 3 \pm 10$

$x= 13, -7$

3. 最終的な答え

問題32-2：

1. $6 - 2\sqrt{5}$

2. $12 - 8\sqrt{2}$

3. $7$

4. $14+5\sqrt{2}$

問題33-1：

1. $x = \pm 20$

2. $x = \pm 4$

3. $x = \pm 2$

4. $x = \pm 3$

5. $x = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$

6. $x = \pm \frac{2}{3}$

問題33-2：

1. $x = \pm 3\sqrt{6}$

2. $x = \pm 2\sqrt{6}$

3. $x = \pm \sqrt{7}$

4. $x = \pm \sqrt{19}$

5. $x = \pm \sqrt{6}$

6. $x = \pm \frac{\sqrt{77}}{11}$

問題34-1：

1. $x = 6, -4$

2. $x = 14, -6$

3. $x = 13, -7$