与えられた6つの二次式を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの二次式を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $4x^2 + 14x + 6$

まず、共通因数でくくります。すべての項が2で割り切れるので、2でくくると

$2(2x^2 + 7x + 3)$

となります。次に、括弧の中の二次式を因数分解します。かけて $2 \times 3 = 6$、足して7になる2つの数は6と1なので、$2x^2 + 7x + 3 = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x(x+3) + 1(x+3) = (2x+1)(x+3)$

したがって、

$4x^2 + 14x + 6 = 2(2x+1)(x+3)$

(2) $4x^2 - 10x + 6$

まず、共通因数でくくります。すべての項が2で割り切れるので、2でくくると

$2(2x^2 - 5x + 3)$

となります。次に、括弧の中の二次式を因数分解します。かけて $2 \times 3 = 6$、足して-5になる2つの数は-2と-3なので、$2x^2 - 5x + 3 = 2x^2 - 2x - 3x + 3 = 2x(x-1) - 3(x-1) = (2x-3)(x-1)$

したがって、

$4x^2 - 10x + 6 = 2(2x-3)(x-1)$

(3) $6x^2 - 9x - 15$

まず、共通因数でくくります。すべての項が3で割り切れるので、3でくくると

$3(2x^2 - 3x - 5)$

となります。次に、括弧の中の二次式を因数分解します。かけて $2 \times (-5) = -10$、足して-3になる2つの数は-5と2なので、$2x^2 - 3x - 5 = 2x^2 - 5x + 2x - 5 = x(2x-5) + 1(2x-5) = (x+1)(2x-5)$

したがって、

$6x^2 - 9x - 15 = 3(x+1)(2x-5)$

(4) $6x^2 + 33x + 15$

まず、共通因数でくくります。すべての項が3で割り切れるので、3でくくると

$3(2x^2 + 11x + 5)$

となります。次に、括弧の中の二次式を因数分解します。かけて $2 \times 5 = 10$、足して11になる2つの数は10と1なので、$2x^2 + 11x + 5 = 2x^2 + 10x + x + 5 = 2x(x+5) + 1(x+5) = (2x+1)(x+5)$

したがって、

$6x^2 + 33x + 15 = 3(2x+1)(x+5)$

(5) $6x^2 + 16x + 8$

まず、共通因数でくくります。すべての項が2で割り切れるので、2でくくると

$2(3x^2 + 8x + 4)$

となります。次に、括弧の中の二次式を因数分解します。かけて $3 \times 4 = 12$、足して8になる2つの数は6と2なので、$3x^2 + 8x + 4 = 3x^2 + 6x + 2x + 4 = 3x(x+2) + 2(x+2) = (3x+2)(x+2)$

したがって、

$6x^2 + 16x + 8 = 2(3x+2)(x+2)$

(6) $12x^2 - 22xy - 20y^2$

まず、共通因数でくくります。すべての項が2で割り切れるので、2でくくると

$2(6x^2 - 11xy - 10y^2)$

となります。次に、括弧の中の二次式を因数分解します。かけて $6 \times (-10) = -60$、足して-11になる2つの数は-15と4なので、$6x^2 - 11xy - 10y^2 = 6x^2 - 15xy + 4xy - 10y^2 = 3x(2x-5y) + 2y(2x-5y) = (3x+2y)(2x-5y)$

したがって、

$12x^2 - 22xy - 20y^2 = 2(3x+2y)(2x-5y)$

3. 最終的な答え

(1) $2(2x+1)(x+3)$

(2) $2(2x-3)(x-1)$

(3) $3(x+1)(2x-5)$

(4) $3(2x+1)(x+5)$

(5) $2(3x+2)(x+2)$

(6) $2(3x+2y)(2x-5y)$