与えられた5つの式を展開し、$x$について降べきの順に整理する。

1. 問題の内容

与えられた5つの式を展開し、$x$について降べきの順に整理する。

2. 解き方の手順

(1) $(x^2 + 4 - 3x)(1 - 2x)$

まず、式を展開する。

$x^2(1 - 2x) + 4(1 - 2x) - 3x(1 - 2x) = x^2 - 2x^3 + 4 - 8x - 3x + 6x^2$

次に、同類項をまとめる。

$-2x^3 + (x^2 + 6x^2) + (-8x - 3x) + 4 = -2x^3 + 7x^2 - 11x + 4$

(2) $(x - a)(x - b)(x - c)$

まず、最初の2つの括弧を展開する。

$(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$

次に、この結果と$(x - c)$を掛け合わせる。

$(x^2 - (a + b)x + ab)(x - c) = x^3 - (a + b)x^2 + abx - cx^2 + (a + b)cx - abc$

同類項をまとめる。

$x^3 - (a + b + c)x^2 + (ab + bc + ca)x - abc$

(3) $(x^2 - x + 1)(x^2 - x + 3)$

$A = x^2 - x$ とおくと, $(A + 1)(A + 3) = A^2 + 4A + 3$ となる。

$A$ を元に戻すと,

$(x^2 - x)^2 + 4(x^2 - x) + 3 = x^4 - 2x^3 + x^2 + 4x^2 - 4x + 3$

$= x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3$

(4) $(x + 1)(x + 2)(x - 5)(x - 6)$

$(x + 1)(x - 5) = x^2 - 4x - 5$

$(x + 2)(x - 6) = x^2 - 4x - 12$

$A = x^2 - 4x$ とすると, $(A - 5)(A - 12) = A^2 - 17A + 60$ となる。

$A$ を元に戻すと,

$(x^2 - 4x)^2 - 17(x^2 - 4x) + 60 = x^4 - 8x^3 + 16x^2 - 17x^2 + 68x + 60$

$= x^4 - 8x^3 - x^2 + 68x + 60$

(5) $(x - 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6)$

$(x - 1)(x + 3) = x^2 + 2x - 3$

$(x - 2)(x + 6) = x^2 + 4x - 12$

$(x^2 + 2x - 3)(x^2 + 4x - 12) = x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 2x^3 + 8x^2 - 24x - 3x^2 - 12x + 36$

$= x^4 + 6x^3 - 7x^2 - 36x + 36$

3. 最終的な答え

(1) $-2x^3 + 7x^2 - 11x + 4$

(2) $x^3 - (a + b + c)x^2 + (ab + bc + ca)x - abc$

(3) $x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 4x + 3$

(4) $x^4 - 8x^3 - x^2 + 68x + 60$

(5) $x^4 + 6x^3 - 7x^2 - 36x + 36$