(1) $2^x = 5$ のとき、$\frac{2^{3x} + 2^{-3x}}{2^x + 2^{-x}}$ の値を求めます。 (2) 方程式 $9^{x+1} + 3^{x+1} - 2 = 0$ を解きます。 (3) $0 < x < 6$ のとき、不等式 $(\frac{x}{3})^{2x^2 - 5x} > (\frac{x}{3})^{8x - 20}$ を解きます。

はい、承知しました。数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) $2^x = 5$ のとき、$\frac{2^{3x} + 2^{-3x}}{2^x + 2^{-x}}$ の値を求めます。

(2) 方程式 $9^{x+1} + 3^{x+1} - 2 = 0$ を解きます。

(3) $0 < x < 6$ のとき、不等式 $(\frac{x}{3})^{2x^2 - 5x} > (\frac{x}{3})^{8x - 20}$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた式を変形します。

$2^{3x} = (2^x)^3 = 5^3 = 125$

$2^{-3x} = (2^x)^{-3} = 5^{-3} = \frac{1}{125}$

$2^{-x} = (2^x)^{-1} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$

よって、

$\frac{2^{3x} + 2^{-3x}}{2^x + 2^{-x}} = \frac{125 + \frac{1}{125}}{5 + \frac{1}{5}} = \frac{\frac{125^2 + 1}{125}}{\frac{5^2 + 1}{5}} = \frac{125^2 + 1}{125} \cdot \frac{5}{5^2 + 1} = \frac{15626}{125} \cdot \frac{5}{26} = \frac{15626}{25 \cdot 26} = \frac{7813}{25 \cdot 13} = \frac{601}{25}$

(2)

与えられた方程式を変形します。

$9^{x+1} + 3^{x+1} - 2 = 0$

$9 \cdot 9^x + 3 \cdot 3^x - 2 = 0$

$9 \cdot (3^x)^2 + 3 \cdot 3^x - 2 = 0$

$t = 3^x$ とおくと、$9t^2 + 3t - 2 = 0$ となります。

$(3t+2)(3t-1) = 0$

$t = -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}$

$3^x = -\frac{2}{3}$ は解なし。

$3^x = \frac{1}{3} = 3^{-1}$

よって $x = -1$

(3)

$(\frac{x}{3})^{2x^2 - 5x} > (\frac{x}{3})^{8x - 20}$

$0 < x < 6$ に注意。

$\frac{x}{3} > 1$ のとき、$x > 3$ となり、$2x^2 - 5x > 8x - 20$

$\frac{x}{3} < 1$ のとき、$x < 3$ となり、$2x^2 - 5x < 8x - 20$

$\frac{x}{3} = 1$ のとき、$x = 3$ となり、与式は $1 > 1$ となり不成立。

まず、$2x^2 - 5x > 8x - 20$ を解きます。

$2x^2 - 13x + 20 > 0$

$(2x - 5)(x - 4) > 0$

$x < \frac{5}{2}$ または $x > 4$

$x > 3$ より、$4 < x < 6$

次に、$2x^2 - 5x < 8x - 20$ を解きます。

$2x^2 - 13x + 20 < 0$

$(2x - 5)(x - 4) < 0$

$\frac{5}{2} < x < 4$

$x < 3$ より、$\frac{5}{2} < x < 3$

したがって、$\frac{5}{2} < x < 3$ または $4 < x < 6$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{601}{25}$

(2) $x = -1$

(3) $\frac{5}{2} < x < 3$ または $4 < x < 6$