整式 $f(x)$ があり、以下の条件を満たしている。 * $f(x)$ を $x-1$ で割ると余りは1 * $f(x)$ を $x^2 - 5x + 6$ で割ると余りは $2x+3$ このとき、$f(x)$ を $(x-1)(x^2 - 5x + 6)$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $f(x)$ があり、以下の条件を満たしている。

* $f(x)$ を $x-1$ で割ると余りは1

* $f(x)$ を $x^2 - 5x + 6$ で割ると余りは $2x+3$

このとき、$f(x)$ を $(x-1)(x^2 - 5x + 6)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

$x^2-5x+6$ を因数分解すると、$(x-2)(x-3)$になる。

よって、$f(x)$ を $(x-2)(x-3)$ で割ると余りが $2x+3$であることから、

$f(2) = 2*2+3 = 7$

$f(3) = 2*3+3 = 9$

また、$f(x)$ を $x-1$ で割ると余りが1であることから、$f(1) = 1$

$f(x)$ を $(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを $ax^2+bx+c$ とする。

このとき、$f(1)=a+b+c=1$, $f(2)=4a+2b+c=7$, $f(3)=9a+3b+c=9$ が成り立つ。

連立方程式を解く。

$4a+2b+c - (a+b+c) = 3a + b = 6$

$9a+3b+c - (4a+2b+c) = 5a + b = 2$

$5a+b - (3a+b) = 2a = -4$ より $a = -2$

$3a+b = 6$ に $a=-2$ を代入すると、 $3*(-2) + b = 6$ なので、$b = 12$

$a+b+c = 1$ に $a=-2, b=12$ を代入すると、$-2+12+c = 1$ なので、$c = -9$

したがって、余りは $-2x^2 + 12x - 9$

3. 最終的な答え

$-2x^2 + 12x - 9$