与えられた指数不等式 $2^{2x+1} - 9 \cdot 2^x + 4 \leq 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた指数不等式 $2^{2x+1} - 9 \cdot 2^x + 4 \leq 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を変形します。

$2^{2x+1}$ は $2 \cdot 2^{2x}$ と書き換えられます。さらに、$2^{2x} = (2^x)^2$ となります。したがって、不等式は以下のように書き換えられます。

$2 \cdot (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x + 4 \leq 0$

ここで、$2^x = t$ とおくと、不等式は $t$ の2次不等式になります。

$2t^2 - 9t + 4 \leq 0$

この2次不等式を解くために、まず2次方程式 $2t^2 - 9t + 4 = 0$ を解きます。因数分解を用いて、

$(2t - 1)(t - 4) = 0$

よって、$t = \frac{1}{2}$ または $t = 4$ となります。

したがって、2次不等式 $2t^2 - 9t + 4 \leq 0$ の解は、$\frac{1}{2} \leq t \leq 4$ となります。

ここで、$t = 2^x$ でしたので、$\frac{1}{2} \leq 2^x \leq 4$ となります。

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$ であり、$4 = 2^2$ であるから、

$2^{-1} \leq 2^x \leq 2^2$

底が2で1より大きいので、指数の大小関係はそのまま不等号の向きを維持します。

$-1 \leq x \leq 2$

3. 最終的な答え

$-1 \leq x \leq 2$