与えられた3つの数の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}$ (2) $\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ (3) $\frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2}$

はい、承知しました。問題の解き方を説明します。

1. 問題の内容

与えられた3つの数の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{3}}$

(2) $\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$

(3) $\frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2}$

2. 解き方の手順

(1) 分母が $\sqrt{6} - \sqrt{3}$ なので、$\sqrt{6} + \sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$$\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{6 - 3} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{3}$$

(2) 分母が $\sqrt{7} + \sqrt{5}$ なので、$\sqrt{7} - \sqrt{5}$ を分子と分母に掛けます。

$$\frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{2(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{2} = \sqrt{7} - \sqrt{5}$$

(3) 分母が $\sqrt{5} + 2$ なので、$\sqrt{5} - 2$ を分子と分母に掛けます。

$$\frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2} \times \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{(\sqrt{5} - 2)^2}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{(\sqrt{5})^2 - 4\sqrt{5} + 2^2}{5 - 4} = \frac{5 - 4\sqrt{5} + 4}{1} = 9 - 4\sqrt{5}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{3}}{3}$

(2) $\sqrt{7} - \sqrt{5}$

(3) $9 - 4\sqrt{5}$