与えられた式 $(x-1)(x-2)(x+2)(x+4) + 2x^2$ を因数分解し、選択肢の中から正しいものを選択する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-2)(x+2)(x+4) + 2x^2$ を因数分解し、選択肢の中から正しいものを選択する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式 $(x-1)(x-2)(x+2)(x+4) + 2x^2$ を展開します。

適切なペアを作って展開すると計算が楽になります。ここでは $(x-1)$ と $(x+2)$、$(x-2)$ と $(x+4)$ をそれぞれペアにします。

$(x-1)(x+2) = x^2 + x - 2$

$(x-2)(x+4) = x^2 + 2x - 8$

したがって、与えられた式は

$(x^2 + x - 2)(x^2 + 2x - 8) + 2x^2$

となります。

ここで、$A = x^2 + x$ とおくと、

$(x^2 + x - 2)(x^2 + 2x - 8) + 2x^2 = (A-2)(A+x-8) + 2x^2$

$= A^2 +Ax -8A -2A -2x+16+ 2x^2$

$=A^2 + Ax- 10A -2x+16+2x^2$

$= (x^2 + x)^2 + x(x^2+x)- 10(x^2+x) -2x+16+2x^2$

$= x^4+2x^3+x^2 +x^3+x^2-10x^2 -10x-2x+16+2x^2$

$= x^4+3x^3 -6x^2 -12x +16$

次に、$x^2 + ax + b$ の形に因数分解できると仮定して、式を $(x^2+cx+d)(x^2+ex+f)$ の形に因数分解してみます。

定数項に着目すると、$d \cdot f = 16$ より、$d= -4, f=-4$ と仮定します。

また、$x^3$ の係数は $c+e = 3$、$x^2$ の係数は $ce+d+f=-6$ となります。

$c+e = 3$ より $e = 3-c$

$ce -8 = -6$

$c(3-c) = 2$

$3c - c^2 = 2$

$c^2 - 3c + 2 = 0$

$(c-1)(c-2) = 0$

$c=1,2$

$c=1$ のとき $e=2$

$c=2$ のとき $e=1$

$(x^2+x-4)(x^2+2x-4) = x^4+2x^3-4x^2+x^3+2x^2-4x-4x^2-8x+16= x^4+3x^3-6x^2-12x+16$

したがって、 $(x^2+x-4)(x^2+2x-4)$ が求める因数分解となります。

3. 最終的な答え

$(x^2+x-4)(x^2+2x-4)$。選択肢の2が正解です。