与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理して因数分解します。

まず式を展開します。

$$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$$

次に、aについて整理します。

$$= (b-c)a^2 + (c^2 - b^2)a + (b^2c - c^2b)$$

$$= (b-c)a^2 - (b^2 - c^2)a + bc(b - c)$$

ここで、$b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$ であることを利用します。

$$= (b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b - c)$$

$(b-c)$ でくくります。

$$= (b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$$

かっこの中を因数分解します。

$$= (b-c)(a-b)(a-c)$$

$$= -(a-b)(b-c)(c-a)$$

3. 最終的な答え

与えられた式を因数分解した結果は $-(a-b)(b-c)(c-a)$ です。

選択肢には $-(a-b)(b-c)(c-a)$ と $(a-b)(b-c)(c-a)$ がありますが、正解は $-(a-b)(b-c)(c-a)$ です。問題文と選択肢の画像が不鮮明なため、厳密には確認できませんが、おそらく選択肢２にある $(a-b)(b-c)(c-a)$ が正しいです。

しかし、上記の計算から $-(a-b)(b-c)(c-a)$ が正しいです。

もし問題文の式が$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$で、選択肢が

1. $-(a+b)(b+c)(c+a)$

2. $(a-b)(b-c)(c-a)$

であれば、

2. $(a-b)(b-c)(c-a)$を選択することになります。

しかし、上記の計算では、因数分解の結果は $-(a-b)(b-c)(c-a)$ です。

この結果と選択肢を比較すると、選択肢2の $(a-b)(b-c)(c-a)$ が最も近いと考えられます。