式 $2x(x-2)+(x+2)^2$ を計算して簡単にせよ。

回答形式に従って、いくつかの問題について回答します。

**問題7-1 (1)**

1. 問題の内容

式 $2x(x-2)+(x+2)^2$ を計算して簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、各項を展開します。

$2x(x-2) = 2x^2 - 4x$

$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$

次に、これらの式を足し合わせます。

$2x^2 - 4x + x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 4$

3. 最終的な答え

$3x^2 + 4$

**問題7-1 (3)**

1. 問題の内容

$-(2x-2)(2x+2) - 9(\frac{2}{3}x - \frac{1}{3})^2$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず $(2x-2)(2x+2)$ を計算します。これは $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の形なので、$4x^2 - 4$ になります。

次に $(\frac{2}{3}x - \frac{1}{3})^2$ を計算します。これは $(\frac{1}{3}(2x-1))^2 = \frac{1}{9}(4x^2 - 4x + 1)$ になります。

したがって、元の式は $-(4x^2 - 4) - 9(\frac{1}{9}(4x^2 - 4x + 1)) = -4x^2 + 4 - (4x^2 - 4x + 1) = -4x^2 + 4 - 4x^2 + 4x - 1 = -8x^2 + 4x + 3$ となります。

3. 最終的な答え

$-8x^2 + 4x + 3$

**問題7-2 (3)**

1. 問題の内容

$-(5x-1)(5x+1) - 18(\frac{1}{3}x - \frac{2}{3})^2$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず $(5x-1)(5x+1)$ を計算します。これは $25x^2 - 1$ になります。

次に $(\frac{1}{3}x - \frac{2}{3})^2$ を計算します。これは $(\frac{1}{3}(x-2))^2 = \frac{1}{9}(x^2 - 4x + 4)$ になります。

したがって、元の式は $-(25x^2 - 1) - 18(\frac{1}{9}(x^2 - 4x + 4)) = -25x^2 + 1 - 2(x^2 - 4x + 4) = -25x^2 + 1 - 2x^2 + 8x - 8 = -27x^2 + 8x - 7$ となります。

3. 最終的な答え

$-27x^2 + 8x - 7$

**問題8-1 (1)**

1. 問題の内容

$(a+b-2)(a+b+8)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

$A = a+b$ と置くと、$(A-2)(A+8) = A^2 + 6A - 16$ となります。

$A$ を元に戻すと、$(a+b)^2 + 6(a+b) - 16 = a^2 + 2ab + b^2 + 6a + 6b - 16$ となります。

3. 最終的な答え

$a^2 + 2ab + b^2 + 6a + 6b - 16$

**問題8-2 (2)**

1. 問題の内容

$(x+y+10)^2$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

$(x+y+10)^2 = (x+y+10)(x+y+10) = (x+y)^2 + 20(x+y) + 100 = x^2 + 2xy + y^2 + 20x + 20y + 100$

3. 最終的な答え

$x^2 + 2xy + y^2 + 20x + 20y + 100$