選択肢の中から、二重根号を外すことができるものを選ぶ問題です。選択肢は以下の3つです。 1. $\sqrt{15 + 6\sqrt{6}}$

1. 問題の内容

選択肢の中から、二重根号を外すことができるものを選ぶ問題です。選択肢は以下の3つです。

1. $\sqrt{15 + 6\sqrt{6}}$

2. $\sqrt{19 + 4\sqrt{20}}$

3. $\sqrt{15 + 6\sqrt{12}}$

2. 解き方の手順

二重根号 $\sqrt{a + b\sqrt{c}}$ を外すことができるかどうかは、$a + b\sqrt{c}$ が $(x + y)^2$ の形に変形できるかどうかで決まります。$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$ なので、$a = x^2 + y^2$ かつ $b\sqrt{c} = 2xy$ となる $x, y$ が存在すれば、二重根号を外すことができます。

各選択肢について検討します。

* 選択肢1: $\sqrt{15 + 6\sqrt{6}}$

$15 + 6\sqrt{6} = 15 + 2\sqrt{54}$と変形できます。ここで、$x^2 + y^2 = 15$ かつ $xy = \sqrt{54}$、つまり $x^2y^2 = 54$ となる $x, y$ を探します。$x^2, y^2$ は $t^2 - 15t + 54 = 0$ の解となります。この二次方程式を解くと、$(t - 6)(t - 9) = 0$ となり、$t = 6, 9$ です。したがって、$x^2 = 6, y^2 = 9$ とすると、$x = \sqrt{6}, y = 3$ となります。よって、$\sqrt{15 + 6\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6} + 3)^2} = \sqrt{6} + 3$となり、二重根号を外すことができます。

* 選択肢2: $\sqrt{19 + 4\sqrt{20}}$

$19 + 4\sqrt{20} = 19 + 2\sqrt{80}$と変形できます。ここで、$x^2 + y^2 = 19$ かつ $xy = \sqrt{80}$、つまり $x^2y^2 = 80$ となる $x, y$ を探します。$x^2, y^2$ は $t^2 - 19t + 80 = 0$ の解となります。この二次方程式を解くと、$(t - 5)(t - 16) = 0$ となり、$t = 5, 16$ です。したがって、$x^2 = 5, y^2 = 16$ とすると、$x = \sqrt{5}, y = 4$ となります。よって、$\sqrt{19 + 4\sqrt{20}} = \sqrt{(\sqrt{5} + 4)^2} = \sqrt{5} + 4$となり、二重根号を外すことができます。

* 選択肢3: $\sqrt{15 + 6\sqrt{12}}$

$15 + 6\sqrt{12} = 15 + 2\sqrt{108}$と変形できます。ここで、$x^2 + y^2 = 15$ かつ $xy = \sqrt{108}$、つまり $x^2y^2 = 108$ となる $x, y$ を探します。$x^2, y^2$ は $t^2 - 15t + 108 = 0$ の解となります。この二次方程式の判別式は、$D = (-15)^2 - 4(108) = 225 - 432 = -207 < 0$ なので、実数解を持ちません。したがって、二重根号を外すことができません。

3. 最終的な答え

二重根号を外すことができるのは、選択肢1と選択肢2です。