$x = \frac{1}{3 - \sqrt{5}}$ のとき、$5a^2 + 8ab + 16b^2$ の値を求めよ。ただし、$a$ は $x$ の整数部分、$b$ は $x$ の小数部分とする。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{3 - \sqrt{5}}$ のとき、$5a^2 + 8ab + 16b^2$ の値を求めよ。ただし、$a$ は $x$ の整数部分、$b$ は $x$ の小数部分とする。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の分母を有理化する。

$x = \frac{1}{3 - \sqrt{5}} = \frac{1}{3 - \sqrt{5}} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \frac{3 + \sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$

$\sqrt{5}$ の近似値を求める。$2 < \sqrt{5} < 3$ であることは知られている。

$2.2^2 = 4.84$

$2.3^2 = 5.29$

なので、$2.2 < \sqrt{5} < 2.3$ である。

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ の整数部分を考える。

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{4}$ の近似値を計算すると、

$\frac{3+2.2}{4} = \frac{5.2}{4} = 1.3$

$\frac{3+2.3}{4} = \frac{5.3}{4} = 1.325$

より、$1 < x < 2$ である。よって、$x$ の整数部分 $a = 1$。

小数部分 $b$ は、$b = x - a = \frac{3 + \sqrt{5}}{4} - 1 = \frac{3 + \sqrt{5} - 4}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

求める式に $a$ と $b$ を代入する。

$5a^2 + 8ab + 16b^2 = 5(1)^2 + 8(1)(\frac{\sqrt{5} - 1}{4}) + 16(\frac{\sqrt{5} - 1}{4})^2 = 5 + 2(\sqrt{5} - 1) + (\sqrt{5} - 1)^2 = 5 + 2\sqrt{5} - 2 + (5 - 2\sqrt{5} + 1) = 5 + 2\sqrt{5} - 2 + 6 - 2\sqrt{5} = 9$

3. 最終的な答え

9