(1) 行列式 $\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix}$ を因数分解する。 (2) 方程式 $\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 行列式

$\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix}$

を因数分解する。

(2) 方程式

$\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = 0$

を解く。

2. 解き方の手順

(1) 行列式の因数分解

第3列を第1列と第2列に分解する。

$\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & a^2 & b \\ b & b^2 & c \\ c & c^2 & a \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & a^2 & c \\ b & b^2 & a \\ c & c^2 & b \end{vmatrix}$

$= \begin{vmatrix} a & a^2 & b \\ b & b^2 & c \\ c & c^2 & a \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} a & a^2 & b \\ b & b^2 & c \\ c & c^2 & a \end{vmatrix}$

元の行列式に第1列を足すと

$\begin{vmatrix} a & a^2 & b+c \\ b & b^2 & c+a \\ c & c^2 & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & a^2 & a+b+c \\ b & b^2 & a+b+c \\ c & c^2 & a+b+c \end{vmatrix}$

第3列から$a+b+c$を括り出す。

$=(a+b+c)\begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{vmatrix}$

第1行を第2行、第3行から引く。

$=(a+b+c)\begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ b-a & b^2-a^2 & 0 \\ c-a & c^2-a^2 & 0 \end{vmatrix}$

$=(a+b+c)(b-a)(c-a)\begin{vmatrix} a & a^2 & 1 \\ 1 & b+a & 0 \\ 1 & c+a & 0 \end{vmatrix}$

$=(a+b+c)(b-a)(c-a) (c+a-b-a)$

$=(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)$

$=(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) 方程式の解

与えられた行列式に、第1列に第2,3,4列を足すと、第1列の要素は全て$x+1$になる。

$\begin{vmatrix} x-1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x+1 & 1 & 1 & 0 \\ x+1 & x-1 & 0 & 1 \\ x+1 & 0 & x-1 & 1 \\ x+1 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix} = (x+1)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & x-1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & x-1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & x-1 \end{vmatrix}$

第1行を第2,3,4行から引くと

$= (x+1)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & x-2 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & x-2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix}$

ここで、第4列を第3列から引くと

$(x+1)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & x-2 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & x-3 & 1 \\ 0 & 0 & 1-x & x-1 \end{vmatrix}$

この4x4行列式を計算するために、第一列で展開します。

$(x+1) \begin{vmatrix} x-2 & -1 & 1 \\ -1 & x-2 & 1 \\ 0 & 0 & x-1 \end{vmatrix} = (x+1)(x-1) \begin{vmatrix} x-2 & -1 \\ -1 & x-2 \end{vmatrix}$

$=(x+1)(x-1)((x-2)^2 - 1) = (x+1)(x-1)(x^2 - 4x + 4 - 1) = (x+1)(x-1)(x^2 - 4x + 3) = (x+1)(x-1)(x-1)(x-3)$

$=(x+1)(x-1)^2(x-3)$

方程式 $(x+1)(x-1)^2(x-3) = 0$ を解くと

$x=-1, 1, 3$

よって解は $x = -1, 1, 3$

3. 最終的な答え

(1) $(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$

(2) $x = -1, 1, 3$