$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$, $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ のとき、$x^2 + y^2$ と $x^3 + y^3$ の値をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$, $y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ のとき、$x^2 + y^2$ と $x^3 + y^3$ の値をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4+2\sqrt{3}}{2} = 2+\sqrt{3}$

$y = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$

次に、$x+y$と$xy$を計算します。

$x+y = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$

$xy = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 4-3 = 1$

$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 4^2 - 2(1) = 16 - 2 = 14$

$x^3 + y^3$ を計算します。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = 4(4^2 - 3(1)) = 4(16-3) = 4(13) = 52$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 = 14$

$x^3 + y^3 = 52$