放物線 $y = x^2 + 4x$ 上に、原点Oと点Pを通る直線OPに関して対称な相異なる2点が存在するような点Pの範囲を図示せよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 4x$ 上に、原点Oと点Pを通る直線OPに関して対称な相異なる2点が存在するような点Pの範囲を図示せよ。

2. 解き方の手順

点Pの座標を $(p, q)$ とおく。直線OPの方程式は $y = \frac{q}{p}x$である。

放物線 $y = x^2 + 4x$ 上の点をA($x_1$, $y_1$)とする。点Aと直線OPに関して対称な点をB($x_2$, $y_2$)とする。

線分ABの中点は直線OP上にあるから、

$\frac{y_1+y_2}{2} = \frac{q}{p} \frac{x_1+x_2}{2}$

$p(y_1+y_2) = q(x_1+x_2)$

また、直線ABと直線OPは直交するから、

$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = -\frac{p}{q}$

$q(y_2 - y_1) = -p(x_2 - x_1)$

点A($x_1$, $y_1$)と点B($x_2$, $y_2$)は放物線 $y=x^2+4x$ 上の点であるから、

$y_1 = x_1^2 + 4x_1$

$y_2 = x_2^2 + 4x_2$

これらの式を連立させて、$x_1$と$x_2$の関係を求める。

$x_1, x_2$は2次方程式の実数解である必要がある。

$x_1$と$x_2$の中点は、$x = \frac{x_1+x_2}{2}$であり、$x_1+x_2 = 2x$である。

$y_1+y_2 = x_1^2+4x_1+x_2^2+4x_2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 + 4(x_1+x_2) = (2x)^2 - 2x_1x_2 + 4(2x) = 4x^2 - 2x_1x_2 + 8x$

$p(4x^2 - 2x_1x_2 + 8x) = q(2x)$

$2p(2x^2-x_1x_2+4x) = 2qx$

$p(2x^2-x_1x_2+4x) = qx$

$q(y_2 - y_1) = -p(x_2 - x_1)$より

$q(x_2^2 + 4x_2 - x_1^2 - 4x_1) = -p(x_2-x_1)$

$q((x_2-x_1)(x_2+x_1) + 4(x_2-x_1)) = -p(x_2-x_1)$

$x_2 \neq x_1$より、$x_2 - x_1 \neq 0$

$q(x_2+x_1 + 4) = -p$

$q(2x+4) = -p$

$2xq+4q = -p$

$2xq = -p - 4q$

$x = \frac{-p-4q}{2q}$

$p(2(\frac{-p-4q}{2q})^2 - x_1x_2 + 4(\frac{-p-4q}{2q})) = q (\frac{-p-4q}{2q})$

$p(2\frac{(p+4q)^2}{4q^2} - x_1x_2 - 2\frac{p+4q}{q}) = \frac{-p-4q}{2}$

$x_1x_2$を求めるのは難しい。

別の解法を考える。直線OPを$y=mx$とおく。

$P=(p,mp)$である。

放物線$y=x^2+4x$上に、直線$y=mx$に関して対称な2点が存在すると仮定する。

その2点をA($x_1,y_1$)とB($x_2,y_2$)とすると、直線ABの傾きは$-1/m$となり、中点Mは直線$y=mx$上にある。

直線ABの方程式は、$y = -\frac{1}{m}(x-x_1) + y_1$

$M = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$

$\frac{y_1+y_2}{2} = m \frac{x_1+x_2}{2}$

$y_1+y_2 = m(x_1+x_2)$

$y_2 - y_1 = -\frac{1}{m}(x_2 - x_1)$

$m(y_2-y_1) = -(x_2-x_1)$

$y_1 = x_1^2+4x_1$, $y_2 = x_2^2+4x_2$

$x_1^2+4x_1+x_2^2+4x_2 = m(x_1+x_2)$

$x_2^2+4x_2-x_1^2-4x_1 = -\frac{1}{m}(x_2-x_1)$

$(x_2-x_1)(x_2+x_1+4) = -\frac{1}{m}(x_2-x_1)$

$x_1 \neq x_2$だから、$x_2-x_1 \neq 0$

$x_1+x_2+4 = -\frac{1}{m}$

$x_1+x_2 = -\frac{1}{m}-4$

$x_1^2+x_2^2+4x_1+4x_2 = m(x_1+x_2)$

$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 + 4(x_1+x_2) = m(x_1+x_2)$

$(-\frac{1}{m}-4)^2 - 2x_1x_2 + 4(-\frac{1}{m}-4) = m(-\frac{1}{m}-4)$

$(\frac{1}{m^2} + \frac{8}{m} + 16) - 2x_1x_2 - \frac{4}{m} - 16 = -1-4m$

$\frac{1}{m^2} + \frac{4}{m} - 2x_1x_2 = -1-4m$

$2x_1x_2 = \frac{1}{m^2} + \frac{4}{m} + 1 + 4m$

$x_1$と$x_2$は、$t^2 - (x_1+x_2)t + x_1x_2 = 0$の実数解

$t^2 - (-\frac{1}{m}-4)t + \frac{1}{2}(\frac{1}{m^2}+\frac{4}{m}+1+4m) = 0$

$t^2 + (\frac{1}{m}+4)t + \frac{1}{2m^2} + \frac{2}{m} + \frac{1}{2} + 2m = 0$

判別式D>0

$(\frac{1}{m}+4)^2 - 4(\frac{1}{2m^2} + \frac{2}{m} + \frac{1}{2} + 2m) > 0$

$\frac{1}{m^2}+\frac{8}{m}+16 - \frac{2}{m^2} - \frac{8}{m} - 2 - 8m > 0$

$-\frac{1}{m^2} + 14 - 8m > 0$

$-1+14m^2-8m^3>0$

$8m^3-14m^2+1<0$

$f(m)=8m^3-14m^2+1$とする。

$f(0)=1$, $f(1)=8-14+1 = -5$

$f(1.5)=8(3.375)-14(2.25)+1 = 27-31.5+1 = -3.5$

$f(2) = 8(8)-14(4)+1 = 64-56+1=9$

$8m^3-14m^2+1<0$を満たす$m$の範囲は、$m<0$、もしくは$1<m<2$の付近

$p=1$とすると、$q=m$だから、$p<0$、もしくは$1<p<2$。

点Pの範囲は、$y=mx$において、$8m^3-14m^2+1<0$

$m=\frac{q}{p}$なので、$8(\frac{q}{p})^3-14(\frac{q}{p})^2+1<0$

$8q^3 - 14q^2p + p^3 < 0$

3. 最終的な答え

$8q^3 - 14q^2p + p^3 < 0$を満たす点(p,q)の領域