与えられた式 $(x-2)(x+1)^2(x+4)$ を計算しなさい。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-2)(x+1)^2(x+4)$ を計算しなさい。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)^2$ を展開します。

$(x+1)^2 = (x+1)(x+1) = x^2 + 2x + 1$

次に、$(x-2)(x+4)$ を計算します。

$(x-2)(x+4) = x^2 + 4x - 2x - 8 = x^2 + 2x - 8$

したがって、元の式は次のようになります。

$(x-2)(x+1)^2(x+4) = (x^2 + 2x - 8)(x^2 + 2x + 1)$

ここで、$A = x^2 + 2x$ と置くと、

$(x^2 + 2x - 8)(x^2 + 2x + 1) = (A - 8)(A + 1)$

これを展開すると、

$(A - 8)(A + 1) = A^2 + A - 8A - 8 = A^2 - 7A - 8$

$A = x^2 + 2x$ を代入します。

$(x^2 + 2x)^2 - 7(x^2 + 2x) - 8 = (x^4 + 4x^3 + 4x^2) - (7x^2 + 14x) - 8$

$= x^4 + 4x^3 + 4x^2 - 7x^2 - 14x - 8$

$= x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 14x - 8$

3. 最終的な答え

$x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 14x - 8$

選択肢には正しい答えが含まれていません。

しかし、選択肢１の$x^4 + 4x^3 - 8x^2 - 16x + 8$が一番近いように見えます。計算ミスがあったかもしれません。

もう一度計算してみます。

$(x-2)(x+1)(x+1)(x+4) = (x-2)(x+4)(x+1)(x+1)$

$= (x^2+2x-8)(x^2+2x+1) = x^4 + 2x^3+x^2 + 2x^3+4x^2+2x -8x^2 -16x -8$

$= x^4 + 4x^3 -3x^2 -14x -8$

やはり選択肢に正しいものはありません。

問題にタイプミスがある可能性があります。

しかし、もし問題が、

$(x-2)(x+2)(x^2+4) = (x^2-4)(x^2+4) = x^4-16$

であったなら、答えは選択肢４の$x^4 - 8$にはなりません。

問題は、$(x-2)(x+1)^2(x+4)$ なので、再計算した結果 $x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 14x - 8$となります。

上記の考察より、選択肢1は誤り、選択肢4も誤りです。

```

(x-2)(x+1)^2(x+4) = (x-2)(x+4)(x+1)^2

= (x^2+2x-8)(x^2+2x+1)

= x^4 + 2x^3 + x^2 + 2x^3 + 4x^2 + 2x -8x^2 -16x -8

= x^4 + 4x^3 -3x^2 -14x -8

```

最終的な答えとして、$x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 14x - 8$と書きます。

しかし、選択肢にありません。