$\log_9 5 \cdot \log_5 27$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\log_9 5 \cdot \log_5 27$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、底の変換公式を適用します。底の変換公式は、$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ です。

ここでは、底を3に変換します。

$\log_9 5 = \frac{\log_3 5}{\log_3 9}$

$\log_5 27 = \frac{\log_3 27}{\log_3 5}$

したがって、

$\log_9 5 \cdot \log_5 27 = \frac{\log_3 5}{\log_3 9} \cdot \frac{\log_3 27}{\log_3 5}$

ここで、$\log_3 9 = 2$ および $\log_3 27 = 3$ であることを用います。

$\log_9 5 \cdot \log_5 27 = \frac{\log_3 5}{2} \cdot \frac{3}{\log_3 5}$

$\log_3 5$ が分子と分母にあるので、約分できます。

$\log_9 5 \cdot \log_5 27 = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$