画像には3つの問題があります。 (9) 1次不等式 $\frac{4x+5}{9} < \frac{7x+12}{6}$ を解け。 (10) $\frac{1}{\sqrt{10} - \sqrt{3}}$ の分母を有理化せよ。 (11) $(2\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - 6\sqrt{2})$ を展開せよ。

1. 問題の内容

画像には3つの問題があります。

(9) 1次不等式 $\frac{4x+5}{9} < \frac{7x+12}{6}$ を解け。

(10) $\frac{1}{\sqrt{10} - \sqrt{3}}$ の分母を有理化せよ。

(11) $(2\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - 6\sqrt{2})$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

(9) 1次不等式 $\frac{4x+5}{9} < \frac{7x+12}{6}$ を解く。

まず、両辺に18を掛けて分母を払う。

$2(4x+5) < 3(7x+12)$

$8x + 10 < 21x + 36$

$8x - 21x < 36 - 10$

$-13x < 26$

両辺を-13で割る (負の数で割るので不等号の向きが変わる)。

$x > -2$

(10) $\frac{1}{\sqrt{10} - \sqrt{3}}$ の分母を有理化する。

分母の共役な複素数 $\sqrt{10} + \sqrt{3}$ を分子と分母に掛ける。

$\frac{1}{\sqrt{10} - \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{10} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{\sqrt{10} + \sqrt{3}}$

$= \frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{10 - 3}$

$= \frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{7}$

(11) $(2\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - 6\sqrt{2})$ を展開する。

$(2\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} - 6\sqrt{2}) = 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 2\sqrt{5} \cdot 6\sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2}$

$= 2 \cdot 5 - 12\sqrt{10} - \sqrt{10} + 6 \cdot 2$

$= 10 - 13\sqrt{10} + 12$

$= 22 - 13\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

(9) $x > -2$

(10) $\frac{\sqrt{10} + \sqrt{3}}{7}$

(11) $22 - 13\sqrt{10}$