関数 $f(x) = ax^2 + 2ax + b$ において、$1 \le x \le 3$ の範囲での最大値が10、最小値が-2となるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax^2 + 2ax + b$ において、$1 \le x \le 3$ の範囲での最大値が10、最小値が-2となるとき、定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = a(x^2 + 2x) + b = a(x^2 + 2x + 1 - 1) + b = a(x+1)^2 - a + b$

軸は $x = -1$ です。

(i) $a > 0$ のとき:

下に凸のグラフなので、$x=3$ で最大値、$x=1$ で最小値を取ります。

$f(3) = a(3+1)^2 - a + b = 16a - a + b = 15a + b = 10$

$f(1) = a(1+1)^2 - a + b = 4a - a + b = 3a + b = -2$

この連立方程式を解きます。

$15a + b = 10$

$3a + b = -2$

上の式から下の式を引くと、$12a = 12$ となり、$a = 1$

$3(1) + b = -2$ より、$b = -5$

よって、$a = 1$, $b = -5$

(ii) $a < 0$ のとき:

上に凸のグラフなので、$x=1$ で最大値、$x=3$ で最小値を取ります。

$f(1) = a(1+1)^2 - a + b = 4a - a + b = 3a + b = 10$

$f(3) = a(3+1)^2 - a + b = 16a - a + b = 15a + b = -2$

この連立方程式を解きます。

$3a + b = 10$

$15a + b = -2$

下の式から上の式を引くと、$12a = -12$ となり、$a = -1$

$3(-1) + b = 10$ より、$b = 13$

よって、$a = -1$, $b = 13$

(iii) $a = 0$ のとき

$f(x) = b$ となり、最大値も最小値も $b$ となるため、最大値が10,最小値が-2となることはありえません。

3. 最終的な答え

$a = 1$, $b = -5$ または $a = -1$, $b = 13$