関数 $f(x) = ax^2 + 2ax + b$ が $1 \le x \le 3$ の範囲で、最大値10、最小値-2をとるときの、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax^2 + 2ax + b$ が $1 \le x \le 3$ の範囲で、最大値10、最小値-2をとるときの、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$f(x) = ax^2 + 2ax + b = a(x^2 + 2x) + b = a(x^2 + 2x + 1 - 1) + b = a(x+1)^2 - a + b$

軸は $x = -1$ である。

場合分けが必要となる。

i) $a > 0$ の場合、下に凸なグラフになる。定義域 $1 \le x \le 3$ は軸 $x = -1$ から離れているので、$x=3$ で最大値、$x=1$ で最小値をとる。

$f(3) = 9a + 6a + b = 15a + b = 10$

$f(1) = a + 2a + b = 3a + b = -2$

この連立方程式を解くと、

$12a = 12$ より $a = 1$。

$3(1) + b = -2$ より $b = -5$。

$a = 1 > 0$ を満たすので、これは解となる。

ii) $a < 0$ の場合、上に凸なグラフになる。定義域 $1 \le x \le 3$ は軸 $x = -1$ から離れているので、$x=1$ で最大値、$x=3$ で最小値をとる。

$f(1) = a + 2a + b = 3a + b = 10$

$f(3) = 9a + 6a + b = 15a + b = -2$

この連立方程式を解くと、

$-12a = 12$ より $a = -1$。

$3(-1) + b = 10$ より $b = 13$。

$a = -1 < 0$ を満たすので、これも解となる。

iii) $a = 0$ の場合、$f(x) = b$ となり、これは定数関数である。

したがって、最大値も最小値も $b$ になるはずだが、問題文では最大値と最小値が異なっているので、$a=0$ はありえない。

3. 最終的な答え

$a = 1, b = -5$ または $a = -1, b = 13$