初項が243、公比が$-\frac{1}{3}$、末項が3である等比数列$\{a_n\}$の和を求める。

1. 問題の内容

初項が243、公比が$-\frac{1}{3}$、末項が3である等比数列$\{a_n\}$の和を求める。

2. 解き方の手順

まず、一般項の公式を用いて、項数を求める。

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ である。ここで、$a_n = 3$, $a_1 = 243$, $r = -\frac{1}{3}$ を代入する。

$3 = 243 \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$

$\frac{3}{243} = \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$

$\frac{1}{81} = \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$

$\left(-\frac{1}{3}\right)^4 = \left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1}$

よって、$n-1 = 4$ となり、$n = 5$ である。

次に、等比数列の和の公式を用いる。

等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ である。ここで、$a_1 = 243$, $r = -\frac{1}{3}$, $n = 5$ を代入する。

$S_5 = \frac{243\left(1-\left(-\frac{1}{3}\right)^5\right)}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}$

$S_5 = \frac{243\left(1-\left(-\frac{1}{243}\right)\right)}{1+\frac{1}{3}}$

$S_5 = \frac{243\left(1+\frac{1}{243}\right)}{\frac{4}{3}}$

$S_5 = \frac{243\left(\frac{244}{243}\right)}{\frac{4}{3}}$

$S_5 = \frac{244}{\frac{4}{3}}$

$S_5 = 244 \cdot \frac{3}{4}$

$S_5 = 61 \cdot 3$

$S_5 = 183$

3. 最終的な答え

183