問題は、無限等比級数 $5 + 5 \cdot \frac{2}{3} + 5 \cdot (\frac{2}{3})^2 + 5 \cdot (\frac{2}{3})^3 + \dots + 5 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1} + \dots$ の和を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、無限等比級数 $5 + 5 \cdot \frac{2}{3} + 5 \cdot (\frac{2}{3})^2 + 5 \cdot (\frac{2}{3})^3 + \dots + 5 \cdot (\frac{2}{3})^{n-1} + \dots$ の和を求めることです。

2. 解き方の手順

この無限等比級数は、初項 $a=5$、公比 $r=\frac{2}{3}$ の等比級数です。無限等比級数の和 $S$ は、 $|r| < 1$ のとき、以下の式で求められます。

$S = \frac{a}{1-r}$

この問題では、初項 $a=5$、公比 $r=\frac{2}{3}$ です。$|r| = \frac{2}{3} < 1$ なので、無限等比級数の和は収束し、以下の式で計算できます。

$S = \frac{5}{1 - \frac{2}{3}}$

$S = \frac{5}{\frac{1}{3}}$

$S = 5 \cdot 3$

$S = 15$

3. 最終的な答え

15