実数 $k$ を定数とする3次式 $P(x) = x^3 - 2x^2 + kx - 1$ が、$x-1$ で割り切れるとする。 (1) $k$ の値を求める。 (2) 方程式 $P(x) = 0$ を解く。 (3) 方程式 $P(x) = 0$ の虚数解のうち、虚部が正であるものを $\alpha$ とするとき、$\alpha^3$ と $\alpha^2 + \alpha + 1$ の値をそれぞれ求める。 (4) $P(x)$ を $x-1$ で割ったときの商を $Q(x)$ とし、整式 $R(x) = (x^3 + x^2 + x + 1)^5$ とする。$R(x)$ を $Q(x)$ で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

実数 $k$ を定数とする3次式 $P(x) = x^3 - 2x^2 + kx - 1$ が、$x-1$ で割り切れるとする。

(1) $k$ の値を求める。

(2) 方程式 $P(x) = 0$ を解く。

(3) 方程式 $P(x) = 0$ の虚数解のうち、虚部が正であるものを $\alpha$ とするとき、$\alpha^3$ と $\alpha^2 + \alpha + 1$ の値をそれぞれ求める。

(4) $P(x)$ を $x-1$ で割ったときの商を $Q(x)$ とし、整式 $R(x) = (x^3 + x^2 + x + 1)^5$ とする。$R(x)$ を $Q(x)$ で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ が $x-1$ で割り切れるので、$P(1) = 0$ である。

したがって、

$1^3 - 2(1)^2 + k(1) - 1 = 0$

$1 - 2 + k - 1 = 0$

$k - 2 = 0$

$k = 2$

(2) $k = 2$ のとき、$P(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$ である。

$P(x)$ は $x-1$ で割り切れるので、

$P(x) = (x-1)(x^2 - x + 1)$

$P(x) = 0$ となるのは、$x-1 = 0$ または $x^2 - x + 1 = 0$ のときである。

$x = 1$

$x^2 - x + 1 = 0$ を解くと、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

したがって、$P(x) = 0$ の解は、$x = 1, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$

(3) 虚部が正である解は、$\alpha = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ である。

$\alpha = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} = e^{i\frac{\pi}{3}}$

$\alpha^3 = \left(e^{i\frac{\pi}{3}}\right)^3 = e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi = -1$

$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$ より、$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$

(4) $P(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 1$

$P(x)$ を $x-1$ で割ると、$P(x) = (x-1)(x^2 - x + 1)$ より、

$Q(x) = x^2 - x + 1$

$R(x) = (x^3 + x^2 + x + 1)^5$

$x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x+1) + (x+1) = (x^2+1)(x+1)$

$R(x) = ((x^2+1)(x+1))^5 = (x^2+1)^5 (x+1)^5$

$Q(x) = x^2 - x + 1$ で $R(x)$ を割った余りを $ax + b$ とすると、

$R(x) = Q(x) \cdot S(x) + ax + b$

$x^2 - x + 1 = 0$ の解は $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ である。

$x = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ を代入すると、$x^2 = x - 1$ より、

$x^2 + 1 = x - 1 + 1 = x$

$R(x) = (x^2 + 1)^5 (x+1)^5 = x^5 (x+1)^5 = (x(x+1))^5 = (x^2+x)^5$

$x^2 + x = x - 1 + x = 2x - 1$

$R(x) = (2x-1)^5 = Q(x) S(x) + ax + b$

$x = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ を代入すると、$2x - 1 = i\sqrt{3}$

$(i\sqrt{3})^5 = (i\sqrt{3})^2 (i\sqrt{3})^2 (i\sqrt{3}) = (-3)(-3)(i\sqrt{3}) = 9i\sqrt{3}$

$a\left(\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\right) + b = 9i\sqrt{3}$

$\frac{a}{2} + b + i\frac{a\sqrt{3}}{2} = 9i\sqrt{3}$

$\frac{a}{2} + b = 0$

$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ より、$\frac{a}{2} = 9$ で $a = 18$

$b = -\frac{a}{2} = -9$

したがって、余りは $18x - 9$

3. 最終的な答え

(1) $k = 2$

(2) $x = 1, \frac{1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{1-i\sqrt{3}}{2}$

(3) $\alpha^3 = -1$, $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$

(4) 余りは $18x - 9$