(1) 放物線 $y = 4x^2 + ax + b$ が点 $(1, 1)$ を通り、かつ $x$ 軸に接するとき、$a$ と $b$ の組をすべて求めよ。 (2) 放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものが、直線 $y = -x$ と直線 $y = 3x$ の両方に接するとき、$p$、$q$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = 4x^2 + ax + b$ が点 $(1, 1)$ を通り、かつ $x$ 軸に接するとき、$a$ と $b$ の組をすべて求めよ。

(2) 放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものが、直線 $y = -x$ と直線 $y = 3x$ の両方に接するとき、$p$、$q$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

ステップ1: 点 $(1, 1)$ を通ることから、$x = 1$、$y = 1$ を代入する。

$1 = 4(1)^2 + a(1) + b$

$1 = 4 + a + b$

$a + b = -3$

ステップ2: $x$ 軸に接することから、判別式 $D = 0$ となる。

$D = a^2 - 4(4)(b) = 0$

$a^2 - 16b = 0$

ステップ3: $a + b = -3$ より、$b = -a - 3$ を $a^2 - 16b = 0$ に代入する。

$a^2 - 16(-a - 3) = 0$

$a^2 + 16a + 48 = 0$

$(a + 4)(a + 12) = 0$

$a = -4, -12$

ステップ4: $a$ の値に対応する $b$ の値を求める。

$a = -4$ のとき、$b = -(-4) - 3 = 1$

$a = -12$ のとき、$b = -(-12) - 3 = 9$

よって、$(a, b) = (-4, 1), (-12, 9)$.

(2)

ステップ1: 平行移動後の放物線の方程式を求める。

$y = \frac{1}{2}(x - p)^2 + q$

ステップ2: 放物線が $y = -x$ に接することから、$y$ を消去してできる二次方程式が重解を持つ。

$\frac{1}{2}(x - p)^2 + q = -x$

$(x - p)^2 + 2q = -2x$

$x^2 - 2px + p^2 + 2q + 2x = 0$

$x^2 + (2 - 2p)x + (p^2 + 2q) = 0$

判別式 $D_1 = (2 - 2p)^2 - 4(p^2 + 2q) = 0$

$4 - 8p + 4p^2 - 4p^2 - 8q = 0$

$4 - 8p - 8q = 0$

$1 - 2p - 2q = 0$

ステップ3: 放物線が $y = 3x$ に接することから、$y$ を消去してできる二次方程式が重解を持つ。

$\frac{1}{2}(x - p)^2 + q = 3x$

$(x - p)^2 + 2q = 6x$

$x^2 - 2px + p^2 + 2q - 6x = 0$

$x^2 - (2p + 6)x + (p^2 + 2q) = 0$

判別式 $D_2 = (2p + 6)^2 - 4(p^2 + 2q) = 0$

$4p^2 + 24p + 36 - 4p^2 - 8q = 0$

$24p + 36 - 8q = 0$

$6p + 9 - 2q = 0$

ステップ4: 連立方程式を解く。

$1 - 2p - 2q = 0$

$6p + 9 - 2q = 0$

上の式から下の式を引くと、

$(1 - 2p - 2q) - (6p + 9 - 2q) = 0$

$-8p - 8 = 0$

$p = -1$

$1 - 2(-1) - 2q = 0$

$1 + 2 - 2q = 0$

$3 - 2q = 0$

$q = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $(a, b) = (-4, 1), (-12, 9)$

(2) $(p, q) = (-1, \frac{3}{2})$