(2) $x = 2\sqrt{2} - 1$ とする。 (i) $x^2 = \boxed{5}x + \boxed{7}$ である。 (ii) このことを用いると、$x^3 + 4x^2 + x - 3 = \boxed{8}\sqrt{\boxed{9}} + \boxed{10}$ である。空欄 $\boxed{5}$ から $\boxed{10}$ に当てはまる数を求めよ。

1. 問題の内容

(2) $x = 2\sqrt{2} - 1$ とする。

(i) $x^2 = \boxed{5}x + \boxed{7}$ である。

(ii) このことを用いると、$x^3 + 4x^2 + x - 3 = \boxed{8}\sqrt{\boxed{9}} + \boxed{10}$ である。空欄 $\boxed{5}$ から $\boxed{10}$ に当てはまる数を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) まず、$x = 2\sqrt{2} - 1$ より、$x+1 = 2\sqrt{2}$ である。両辺を2乗すると、

$(x+1)^2 = (2\sqrt{2})^2$

$x^2 + 2x + 1 = 8$

$x^2 = -2x + 7$

したがって、$\boxed{5} = -2$, $\boxed{7} = 7$ である。

(ii) $x^3 + 4x^2 + x - 3$ に、$x^2 = -2x + 7$ を用いて変形する。

$x^3 + 4x^2 + x - 3 = x(x^2) + 4x^2 + x - 3 = x(-2x + 7) + 4(-2x + 7) + x - 3$

$= -2x^2 + 7x - 8x + 28 + x - 3$

$= -2x^2 + 0x + 25$

$= -2(-2x + 7) + 25$

$= 4x - 14 + 25$

$= 4x + 11$

ここで、$x = 2\sqrt{2} - 1$ を代入すると、

$4(2\sqrt{2} - 1) + 11 = 8\sqrt{2} - 4 + 11 = 8\sqrt{2} + 7$

したがって、$\boxed{8} = 8$, $\boxed{9} = 2$, $\boxed{10} = 7$ である。

3. 最終的な答え

$\boxed{5} = -2$

$\boxed{7} = 7$

$\boxed{8} = 8$

$\boxed{9} = 2$

$\boxed{10} = 7$