2つの一次関数 $y = ax + 1$ と $y = 2x + b$ のグラフが、$x$ 軸上で垂直に交わるとき、$a+b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2つの一次関数 $y = ax + 1$ と $y = 2x + b$ のグラフが、$x$ 軸上で垂直に交わるとき、$a+b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ 軸上で交わるということは、$y=0$ である。

それぞれの関数で、$y=0$ となる $x$ の値を求める。

$y = ax + 1$ で $y=0$ のとき、$0 = ax + 1$ より $x = -\frac{1}{a}$。

$y = 2x + b$ で $y=0$ のとき、$0 = 2x + b$ より $x = -\frac{b}{2}$。

2つのグラフが $x$ 軸上で交わるので、これらの $x$ の値は等しい。したがって、

$$-\frac{1}{a} = -\frac{b}{2}$$

$$\frac{1}{a} = \frac{b}{2}$$

$$b = \frac{2}{a}$$

次に、2つの直線が垂直に交わる条件は、それぞれの直線の傾きの積が $-1$ であることである。

$y = ax + 1$ の傾きは $a$ であり、$y = 2x + b$ の傾きは $2$ である。したがって、

$$a \times 2 = -1$$

$$a = -\frac{1}{2}$$

これを $b = \frac{2}{a}$ に代入すると、

$$b = \frac{2}{-\frac{1}{2}} = -4$$

したがって、$a+b$ の値は、

$$a + b = -\frac{1}{2} + (-4) = -\frac{1}{2} - \frac{8}{2} = -\frac{9}{2}$$

3. 最終的な答え

$-\frac{9}{2}$