$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。 (1) $\cos 2\theta - \sin \theta = 0$ (2) $\sin 2\theta = \sqrt{3} \cos \theta$

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。

(1) $\cos 2\theta - \sin \theta = 0$

(2) $\sin 2\theta = \sqrt{3} \cos \theta$

2. 解き方の手順

(1) $\cos 2\theta - \sin \theta = 0$ を解く。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ であるから、

$1 - 2\sin^2 \theta - \sin \theta = 0$

$2\sin^2 \theta + \sin \theta - 1 = 0$

$(2\sin \theta - 1)(\sin \theta + 1) = 0$

よって、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ または $\sin \theta = -1$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$\sin \theta = -1$ のとき、$\theta = \frac{3\pi}{2}$

(2) $\sin 2\theta = \sqrt{3} \cos \theta$ を解く。

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ であるから、

$2\sin \theta \cos \theta = \sqrt{3} \cos \theta$

$2\sin \theta \cos \theta - \sqrt{3} \cos \theta = 0$

$\cos \theta (2\sin \theta - \sqrt{3}) = 0$

よって、$\cos \theta = 0$ または $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \theta = 0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{3\pi}{2}$

(2) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$