$a$ を定数とするとき、関数 $y=x^2-4x+5$ ($a-1 \le x \le a+1$) の最小値を求めよ。

はい、この問題を解きましょう。

1. 問題の内容

$a$ を定数とするとき、関数 $y=x^2-4x+5$ ($a-1 \le x \le a+1$) の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y=x^2-4x+5$ を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 4 + 1 = (x-2)^2 + 1$

グラフは下に凸で、軸は $x=2$ です。

したがって、アは2、イは1です。

次に、定義域 $a-1 \le x \le a+1$ に軸 $x=2$ が含まれる条件を考えます。

$a-1 \le 2 \le a+1$

この不等式を解くと、

$a-1 \le 2$ より $a \le 3$

$2 \le a+1$ より $1 \le a$

したがって、$1 \le a \le 3$ です。

よって、ウは2、エは1、オは3です。

(i) $a < 1$ のとき

このとき、定義域は $x \ge a-1$ であり、$a-1 < a+1 < 2$ です。

したがって、$x=a+1$ のとき最小値をとります。

$y = (a+1)^2 - 4(a+1) + 5 = a^2 + 2a + 1 - 4a - 4 + 5 = a^2 - 2a + 2$

よって、カは2、キは5です。

(ii) $1 \le a \le 3$ のとき

このとき、定義域に $x=2$ が含まれるので、$x=2$ で最小値 1 をとります。

よって、アは2、イは1です。

(iii) $3 < a$ のとき

このとき、定義域は $x \le a+1$ であり、$2 < a-1 < a+1$ です。

したがって、$x=a-1$ のとき最小値をとります。

$y = (a-1)^2 - 4(a-1) + 5 = a^2 - 2a + 1 - 4a + 4 + 5 = a^2 - 6a + 10$

よって、クは0、ケは3です。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 1

ウ: 2

エ: 1

オ: 3

カ: 2

キ: 5

ク: 0

ケ: 3